Setelah memahami Limit sebagai alat untuk menganalisis pendekatan dan perilaku fungsi di titik tertentu, kita menggunakan limit untuk mendefinisikan konsep inti Kalkulus Diferensial: Turunan.
1. Konsep Dasar Turunan
Turunan (dxdy atau f′(x)) adalah laju perubahan sesaat (instantaneous rate of change) dari suatu fungsi.
A. Definisi Formal (Berdasarkan Limit)
Turunan didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi beda (difference quotient):
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
Secara intuitif:
- f(x+h)−f(x) adalah perubahan nilai y (Δy).
- h adalah perubahan nilai x (Δx).
- hf(x+h)−f(x) adalah kemiringan garis potong (laju perubahan rata-rata).
- Ketika h→0, kita mendapatkan kemiringan garis singgung (laju perubahan sesaat).
B. Interpretasi Geometris
Secara geometris, turunan suatu fungsi pada titik tertentu adalah kemiringan (gradien) dari garis singgung kurva fungsi pada titik tersebut.
C. Interpretasi Fisika
Dalam konteks gerak:
- Jika s(t) adalah fungsi posisi terhadap waktu (t), maka s′(t) (turunannya) adalah kecepatan sesaat.
- Turunan dari kecepatan sesaat adalah percepatan.
2. Aturan-Aturan Dasar Turunan
Untuk menghindari perhitungan limit yang panjang, kita menggunakan aturan-aturan turunan:
A. Aturan Pangkat (Power Rule)
Jika f(x)=xn, maka f′(x)=nxn−1. Contoh: Jika f(x)=x4, maka f′(x)=4×4−1=4×3.
B. Aturan Konstanta dan Perkalian Konstanta
- Turunan Konstanta: Jika f(x)=c (konstanta), maka f′(x)=0.
- Perkalian Konstanta: Jika f(x)=c⋅g(x), maka f′(x)=c⋅g′(x).
C. Aturan Jumlah dan Selisih
Turunan dari jumlah atau selisih fungsi adalah jumlah atau selisih dari turunan masing-masing fungsi:
(f±g)′=f′±g′
D. Aturan Hasil Kali (Product Rule)
Jika h(x)=f(x)⋅g(x), maka h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
E. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)
Jika h(x)=g(x)f(x), maka h′(x)=[g(x)]2f′(x)g(x)−f(x)g′(x).
F. Aturan Rantai (Chain Rule)
Digunakan untuk turunan fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi). Jika h(x)=f(g(x)), maka h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Contoh: Untuk menghitung turunan y=(x2+1)3.
3. Aplikasi Turunan
Setelah menguasai teknik perhitungan, materi akan dilanjutkan ke aplikasi turunan, meliputi:
- Optimasi: Menemukan nilai maksimum dan minimum (puncak dan lembah) suatu fungsi, berguna untuk menentukan keuntungan maksimum atau biaya minimum.
- Titik Kritis dan Titik Belok: Menganalisis bentuk kurva (kemonotonan dan kecekungan).
- Laju yang Berkaitan (Related Rates): Menyelesaikan masalah di mana dua atau lebih variabel berubah terhadap waktu dan kita perlu menemukan laju perubahan yang tidak diketahui.
- Penaksiran Linear (Linear Approximation): Menggunakan turunan untuk memperkirakan nilai fungsi di dekat titik yang diketahui.