Topologi sering disebut sebagai “geometri karet” karena mempelajari sifat-sifat benda yang tetap utuh meskipun benda tersebut diregangkan, ditekuk, dipilin, atau diubah bentuknya—selama proses tersebut tidak melibatkan pemotongan atau pengeleman.

1. Definisi dan Konsep Inti

Topologi mempelajari sifat-sifat ruang yang disebut sifat topologis (atau topological invariants).

• Deformasi Kontinu: Transformasi yang diperbolehkan dalam topologi disebut homeomorfisme. Sebuah homeomorfisme adalah pemetaan yang bersifat kontinu, memiliki invers yang kontinu, dan merupakan korespondensi satu-satu (bijective).
• Objek Homeomorfik: Dua objek dikatakan homeomorfik jika salah satunya dapat diubah bentuk menjadi yang lain melalui deformasi kontinu.

Contoh Klasik: Dalam topologi, cangkir kopi dan donat (atau torus) dianggap sama (homeomorfik) karena cangkir dapat diubah bentuk menjadi donat (dan sebaliknya) tanpa dipotong atau direkatkan. Keduanya memiliki satu lubang.

2. Sifat-sifat Topologis Utama

Sifat-sifat yang tidak berubah selama deformasi adalah fokus utama topologi:

• Keterhubungan (Connectedness): Apakah suatu objek terdiri dari satu bagian utuh atau terpecah-pecah.
• Kekompakan (Compactness): Sebuah sifat teknis yang berkaitan dengan penutupan dan keterbatasan objek.
• Jumlah Lubang (Genus): Ini adalah sifat yang paling mudah divisualisasikan. Jumlah lubang adalah sifat topologis yang paling terkenal untuk membedakan objek.
  • Bola (tidak ada lubang) tidak homeomorfik dengan donat (satu lubang).
  • Donat (satu lubang) tidak homeomorfik dengan pretzel dengan dua lubang.

3. Jembatan Konigsberg dan Topologi Jaringan

Salah satu masalah paling awal yang secara implisit melahirkan topologi adalah Masalah Tujuh Jembatan Konigsberg (diselesaikan oleh Leonhard Euler).

• Masalah: Apakah mungkin berjalan melewati tujuh jembatan kota Königsberg tepat satu kali dan kembali ke titik awal?
• Solusi Euler: Euler mereduksi jembatan dan daratan menjadi titik (vertex) dan garis (edge)—membentuk sebuah graf (Graph Theory). Solusi ini tidak bergantung pada geometri atau jarak (seperti Geometri Euclid), tetapi hanya pada konektivitas (sifat topologis). Ini adalah awal dari Topologi Kombinatorial.

4. Perbedaan dengan Geometri

Fitur	Geometri Euclid/Analitik	Topologi
Fokus Utama	Jarak, Sudut, Keliling, Luas, Kelengkungan.	Keterhubungan, Jumlah Lubang, Batas.
Yang Penting	Ukuran (misalnya, $5 \text{ cm}$ vs $10 \text{ cm}$).	Hubungan (misalnya, ada atau tidaknya lubang).
Kesamaan	Segitiga kecil $\neq$ Segitiga besar.	Cangkir = Donat.

Topologi adalah bidang yang sangat luas dan menjadi dasar bagi banyak bidang matematika modern.