1. Definisi Formal Ruang Vektor (Vector Spaces) 🌌
Sebuah Ruang Vektor ($V$) bukan sekadar “kumpulan panah”. Secara matematis, ia adalah himpunan objek (vektor) yang dilengkapi dengan dua operasi: Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar.
Agar sebuah himpunan disebut Ruang Vektor, ia harus memenuhi 10 Aksioma (aturan main). Berikut adalah ringkasan logisnya:
- Sifat Tertutup (Closure): Jika Anda menjumlahkan dua vektor di dalam $V$, hasilnya harus tetap di dalam $V$. Begitu juga jika dikalikan skalar. (Vektor tidak boleh “keluar” dari dunianya).
- Identitas & Invers: Harus ada “Vektor Nol” ($\vec{0}$) yang tidak mengubah apa pun saat dijumlahkan, dan setiap vektor harus punya lawan ($-\vec{v}$) sehingga jika dijumlahkan hasilnya nol.
- Sifat Aritmetika: Berlaku hukum Komutatif ($u+v = v+u$), Asosiatif, dan Distributif.
2. Kombinasi Linear & Span (Rentang) 🧱
A. Kombinasi Linear
Ini adalah “resep” untuk membuat vektor baru. Bayangkan vektor $\vec{v}_1$ adalah langkah ke arah timur, dan $\vec{v}_2$ langkah ke arah utara. Kombinasi linearnya adalah:
$$\vec{w} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2$$
Dengan mengubah nilai $c_1$ dan $c_2$, Anda bisa mencapai titik mana pun di lantai tersebut.
B. Span (Rentang)
Span adalah kumpulan semua kemungkinan hasil kombinasi linear dari suatu himpunan vektor.
- Span satu vektor: Membentuk sebuah garis.
- Span dua vektor (tidak sejajar): Membentuk sebuah bidang datar (plane).
- Span tiga vektor (tidak sebidang): Membentuk seluruh ruang 3D.
3. Kebebasan Linear (Linear Independence) ⛓️
Konsep ini mendeteksi “redudansi” atau informasi yang mubazir.
- Bebas Linear (Linearly Independent): Tidak ada satu pun vektor dalam himpunan yang bisa dibuat dari kombinasi linear rekan-rekannya. Setiap vektor memberikan “arah baru” yang unik.
- Bergantung Linear (Linearly Dependent): Setidaknya ada satu vektor yang “mubazir” karena ia bisa dibentuk oleh vektor lainnya.
Cara Mengujinya:
Susun vektor-vektor tersebut menjadi kolom-kolom dalam sebuah Matriks. Jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol ($\text{det}(A) \neq 0$), maka vektor-vektor tersebut Bebas Linear.
4. Basis: “Tiang Fondasi” Ruang Vektor 🏛️
Basis adalah himpunan vektor yang paling efisien untuk membangun sebuah ruang. Sebuah himpunan vektor $B$ disebut basis jika:
- Merenang (Spans) $V$: Bisa membentuk seluruh isi ruang.
- Bebas Linear: Tidak ada vektor yang tidak berguna.
Analogi: Dalam bahasa Indonesia, huruf A sampai Z adalah “Basis”. Anda bisa membentuk kata apa pun (Span), dan Anda tidak bisa membuat huruf ‘B’ hanya dengan menggunakan kombinasi huruf ‘A’.
5. Dimensi (Dimension) 📏
Dimensi adalah jumlah vektor yang ada dalam sebuah Basis.
- Jika basisnya punya 2 vektor $\rightarrow$ Ruang Dimensi 2 (Bidang).
- Jika basisnya punya 3 vektor $\rightarrow$ Ruang Dimensi 3 (Volume).
Mengapa Semua Ini Penting?
- Sistem Persamaan: Jika Anda punya 3 variabel ($x, y, z$) tapi hanya punya 2 persamaan yang bebas linear, Anda tidak akan pernah mendapatkan satu solusi unik. Anda butuh jumlah “informasi bebas” yang sama dengan jumlah variabel.
- Kompresi Data: Dalam teknologi seperti JPEG atau MP3, aljabar linear digunakan untuk mencari “Basis” yang paling penting dan membuang informasi yang “Bergantung Linear” (mubazir) sehingga ukuran file jadi kecil.
- Artificial Intelligence: Neural Networks bekerja dengan memetakan input ke dalam ruang vektor berdimensi tinggi untuk menemukan pola.