Bab ini adalah fondasi teoritis untuk memahami mengapa Matriks dan Vektor bekerja sebagaimana mestinya.

---

Topik Utama Bab 7

1. Ruang Vektor (Vector Spaces)

• Definisi Formal: Mempelajari sepuluh aksioma yang harus dipenuhi oleh himpunan vektor agar dapat disebut sebagai “Ruang Vektor”. Aksioma ini mencakup sifat tertutup terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar, serta sifat komutatif, asosiatif, dan adanya elemen identitas/invers.
• Ruang Vektor Standar: Pengenalan pada ruang $\text{R}^n$ (seperti $\text{R}^2$ atau $\text{R}^3$) sebagai contoh ruang vektor yang paling umum.

2. Subruang (Subspaces)

• Definisi: Himpunan bagian dari Ruang Vektor yang juga merupakan Ruang Vektor itu sendiri (dengan operasi yang sama).
• Uji Subruang: Tiga syarat sederhana untuk membuktikan apakah suatu himpunan merupakan subruang:
  1. Mengandung vektor nol.
  2. Tertutup terhadap penjumlahan.
  3. Tertutup terhadap perkalian skalar.

3. Kombinasi Linear dan Rentang (Span)

• Kombinasi Linear: Menuliskan suatu vektor sebagai hasil penjumlahan vektor-vektor lain yang sudah dikalikan skalar.$$\vec{v} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \dots + c_k\vec{v}_k$$
• Ruang Rentang (Span): Himpunan dari semua kemungkinan kombinasi linear dari suatu himpunan vektor. Ini menunjukkan “ruang” yang dapat dibentuk oleh vektor-vektor tersebut.

4. Kebebasan Linear (Linear Independence)

• Definisi: Himpunan vektor dikatakan bebas linear jika tidak ada satu pun vektor dalam himpunan tersebut yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Secara intuitif, tidak ada vektor yang “berlebihan”.
• Ketergantungan Linear: Jika salah satu vektor dapat diwakili oleh vektor lain, maka himpunan tersebut bergantung linear.

5. Basis dan Dimensi

• Basis: Himpunan vektor terkecil yang memiliki dua sifat:
  1. Merenang seluruh ruang vektor.
  2. Bebas linear.
• Dimensi: Jumlah vektor dalam suatu basis. Ini menentukan “ukuran” ruang vektor tersebut.