A. Konsep Filosofis: Jalan Paling “Ekstrem”

Prinsip Variasi menyatakan bahwa evolusi sistem fisik (lintasan geraknya) adalah hasil dari proses optimasi. Berbeda dengan pandangan Newton yang berfokus pada gaya sesaat, Prinsip Variasi adalah perspektif global; ia melihat seluruh lintasan dari waktu awal (t1​) ke waktu akhir (t2​).

• Jalur Aktual vs. Jalur Virtual: Bayangkan sebuah partikel bergerak dari titik A ke titik B dalam waktu tertentu. Ada tak terhingga lintasan “virtual” yang bisa dilalui. Prinsip Aksi Hamilton menyatakan bahwa lintasan nyata (aktual) yang akan dilalui partikel adalah lintasan yang membuat besaran skalar yang disebut Aksi (S) memiliki nilai stasioner (paling sering minimum—oleh karena itu sering disebut Prinsip Aksi Terkecil).
• Aksi (S): Kuantitas Pusat: Aksi adalah ukuran “biaya” atau “bobot” dari suatu lintasan.S=∫t1​t2​​L(qi​,q˙​i​,t)dtDi mana Lagrangian (L=KE−PE) adalah kernel dari Aksi, mendefinisikan sifat energi sistem di setiap titik lintasan.

B. Kalkulus Variasi dan Derivasi Persamaan Gerak

Kalkulus Variasi adalah alat matematika yang digunakan untuk mencari fungsi, bukan hanya nilai, yang meminimalkan integral (fungsional).

1. Variasi Lintasan (δqi​): Misalkan qi​(t) adalah lintasan yang benar (aktual), dan qi​(t)+δqi​(t) adalah lintasan virtual yang sangat dekat. Variasi (δ) ini adalah perbedaan antara lintasan virtual dan lintasan aktual.
   • Batasan Penting: Variasi harus nol di titik batas (awal dan akhir), karena lintasan nyata dan virtual harus dimulai dan diakhiri di titik yang sama: δqi​(t1​)=0 dan δqi​(t2​)=0.
2. Kondisi Stasioner: Prinsip Aksi Hamilton mensyaratkan bahwa variasi Aksi (δS) untuk lintasan yang benar haruslah nol: δS=δ∫t1​t2​​L(qi​,q˙​i​,t)dt=0
3. Proses Derivasi Detail:
   • Variasi Aksi (δS) diperoleh dengan mengambil variasi Lagrangian: δS=∫t1​t2​​δLdt
   • Variasi Lagrangian dihitung menggunakan Aturan Rantai, karena L bergantung pada qi​ dan q˙​i​: δL=i∑​(∂qi​∂L​δqi​+∂q˙​i​∂L​δq˙​i​)
   • Substitusikan δL kembali ke integral Aksi: δS=∫t1​t2​​i∑​(∂qi​∂L​δqi​+∂q˙​i​∂L​δq˙​i​)dt
   • Gunakan fakta bahwa δq˙​i​=dtd​(δqi​) dan terapkan Integrasi Parsial pada suku kedua: ∫t1​t2​​∂q˙​i​∂L​dtd(δqi​)​dt=[∂q˙​i​∂L​δqi​]t1​t2​​−∫t1​t2​​dtd​(∂q˙​i​∂L​)δqi​dt
   • Karena δqi​ nol pada batas waktu t1​ dan t2​, suku batas pertama adalah nol.
   • Substitusikan kembali, dan kumpulkan integralnya, mensyaratkan δS=0: δS=∫t1​t2​​i∑​[∂qi​∂L​−dtd​(∂q˙​i​∂L​)]δqi​dt=0
   • Agar integral ini nol untuk variasi arbitrer δqi​, maka ekspresi di dalam kurung siku harus nol.
4. Hasil Akhir (Persamaan Euler-Lagrange): Kondisi δS=0 secara unik menghasilkan persamaan gerak:dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=0

C. Keunggulan dan Makna Filosofis

• Universalisasi Hukum Newton: Persamaan Euler-Lagrange adalah generalisasi dari Hukum Kedua Newton. Jika kita menggunakan koordinat Kartesian (qi​=xi​) dan mendefinisikan gaya non-konservatif (Fxi​​) sebagai Fxi​​=d/dt(∂L/∂x˙i​)−∂L/∂xi​, maka persamaan ini menjadi Fxi​​=mx¨i​ (atau F=ma).
• Penanganan Batasan: Keindahan formulasi ini terletak pada penggunaan Koordinat Umum (qi​), yang secara implisit memasukkan semua gaya batasan (constraints) ke dalam Lagrangian (L), sehingga kita tidak perlu menghitung gaya reaksi tersebut secara eksplisit.
• Prinsip Pertama: Daripada memulai dari Hukum Newton yang berdasarkan gaya, Mekanika Analitik dimulai dari Prinsip Aksi Hamilton, yang dianggap sebagai prinsip yang lebih fundamental dan universal dalam fisika teoretis. Prinsip ini berlaku tidak hanya untuk mekanika klasik tetapi juga untuk teori medan kuantum.