Bayangkan Anda memiliki sebuah fungsi $f(x)$ yang melengkung dari titik $a$ ke titik $b$. Bagaimana cara menghitung panjang lintasan kurva tersebut?
Konsep Dasar
Kita tidak bisa menggunakan rumus jarak garis lurus biasa karena kurvanya berbelok-belok. Caranya adalah dengan membagi kurva menjadi potongan-potongan sangat kecil ($ds$) yang hampir lurus, lalu menjumlahkannya menggunakan integral.
Berdasarkan teorema Pythagoras pada potongan kecil tersebut, kita mendapatkan rumus:
$$S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$
Langkah-langkah:
- Cari turunan pertama fungsi, yaitu $f'(x)$.
- Kuadratkan turunan tersebut: $[f'(x)]^2$.
- Masukkan ke dalam rumus integral di atas.
- Hitung integralnya (seringkali membutuhkan teknik substitusi trigonometri yang sudah kita bahas sebelumnya).
2. Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, ia tidak hanya membentuk volume, tetapi juga memiliki “kulit” atau Luas Permukaan.
Rumus Umum
Jika kurva $y = f(x)$ diputar mengelilingi sumbu-x, luas permukaannya ($L$) adalah:
$$L = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$
Logikanya:
- $2\pi f(x)$ adalah keliling lingkaran yang dibentuk oleh rotasi titik pada kurva.
- $\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$ adalah bagian kecil dari panjang busur.
- Jadi, kita seperti menjumlahkan keliling-keliling lingkaran di sepanjang panjang busur tersebut.
3. Integral Tak Wajar (Improper Integrals)
Ini adalah topik transisi menuju kalkulus tingkat lanjut. Integral Tak Wajar adalah integral yang memiliki salah satu (atau kedua) kondisi berikut:
- Batas Integrasi Tak Terhingga: Misalnya $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$.
- Diskontinuitas Tak Terhingga: Integran menjadi tak terdefinisi (menuju $\infty$) di titik tertentu dalam batas integrasi, misalnya $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ (di mana $x=0$ membuat fungsi meledak).
Cara Menyelesaikan
Kita tidak bisa memasukkan simbol $\infty$ langsung ke dalam fungsi. Kita harus menggunakan Limit:
$$\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x) \, dx$$
- Jika limitnya ada (berupa angka), integral disebut Konvergen.
- Jika limitnya tidak ada atau tetap $\infty$, integral disebut Divergen.