Bab ini mendetailkan teknik komputasi yang tak terhindarkan ketika model orbit ideal (analitik) gagal, yaitu dalam menghadapi masalah $n$-benda dan penentuan orbit dari data dunia nyata yang bising.

7.1 Integrasi Numerik Lanjutan

Masalah utama dalam mekanika benda langit adalah integrasi persamaan gerak:

$$\ddot{\vec{r}} = \vec{a}(\vec{r}, t)$$

Di mana $\vec{a}$ adalah total percepatan yang dialami objek (gravitasi dari semua benda, seretan atmosfer, tekanan radiasi).

A. Jenis Metode Integrasi

Pemilihan integrator numerik sangat penting untuk keseimbangan antara akurasi, kecepatan, dan stabilitas:

1. Metode Runge-Kutta (RK):
   • Keunggulan: Sangat akurat dan stabil untuk integrasi langkah tunggal (hanya memerlukan informasi pada langkah sebelumnya). RK4 (orde empat) adalah metode standar yang umum digunakan.
   • Kelemahan: Membutuhkan beberapa evaluasi percepatan (gaya) per langkah waktu, membuatnya kurang efisien secara komputasi untuk jangka waktu yang sangat panjang.
2. Metode Multi-step (Adams-Bashforth, Adams-Moulton):
   • Keunggulan: Lebih cepat daripada RK karena hanya memerlukan satu evaluasi percepatan per langkah waktu.
   • Kelemahan: Kurang stabil dan membutuhkan nilai dari beberapa langkah waktu sebelumnya untuk memulai integrasi.
3. Integrator Simpletik:
   • Keunggulan: Sangat ideal untuk sistem konservatif (seperti gravitasi murni). Meskipun akurasinya mungkin lebih rendah, mereka melestarikan properti dasar Hamiltonian (energi dan momentum) sistem.
   • Aplikasi: Wajib digunakan untuk simulasi jangka panjang (jutaan tahun) di Tata Surya, karena mencegah error energi menumpuk dan menyebabkan orbit benda-benda terpisah.

B. Variasi Elemen Orbital (VEO)

Daripada mengintegrasikan posisi dan kecepatan ($\vec{r}, \dot{\vec{r}}$) di ruang Kartesian, metode VEO mengintegrasikan laju perubahan elemen orbital Kepler ($\dot{a}, \dot{e}, \dot{i}, \dot{\Omega}, \dot{\omega}, \dot{M}$).

• Keunggulan: Jika gaya perturbasi kecil, elemen-elemen ini berubah lambat, memungkinkan penggunaan langkah waktu ($h$) yang lebih besar, menghemat komputasi.
• Hukum: Perubahan elemen orbital $\dot{p}$ (di mana $p$ adalah salah satu elemen) disebabkan oleh komponen gaya perturbasi: radial ($R$), transversal ($T$), dan normal ($W$).

7.2 Estimasi Orbit Lanjutan: Meminimalkan Ketidakpastian

Tujuan dari estimasi orbit adalah untuk menemukan set elemen orbital terbaik yang paling konsisten dengan data pengamatan yang bising.

A. Kriteria Least Squares (Kuadrat Terkecil)

Ini adalah metode perbaikan orbit (refinement) yang paling mendasar dan kuat.

1. Residual: Perbedaan antara posisi yang diamati ($\vec{O}$) dan posisi yang dihitung ($\vec{C}$, dari tebakan elemen orbital): $\text{Residual} = \vec{O} – \vec{C}$.
2. Minimisasi: Tujuannya adalah meminimalkan Jumlah Kuadrat Residual ($\sum (\vec{O} – \vec{C})^2$).
3. Proses Iteratif: Karena persamaan gerak bersifat non-linear, proses ini membutuhkan iterasi:
   • Mulai dengan tebakan awal elemen orbital.
   • Hitung matriks sensitivitas (Jacobian) yang menunjukkan seberapa sensitif posisi hitungan terhadap perubahan kecil dalam elemen orbital.
   • Gunakan matriks ini untuk menghitung koreksi elemen orbital yang akan meminimalkan residual.
   • Ulangi langkah hingga koreksi menjadi sangat kecil.

B. Filter Kalman (Untuk Pelacakan Waktu Nyata)

Filter Kalman adalah estimator rekursif yang sangat canggih dan fundamental untuk pelacakan satelit dan navigasi waktu nyata.

1. Prediksi (Time Update): Filter menggunakan model dinamika orbit (seperti integrasi numerik) untuk memprediksi posisi wahana pada langkah waktu berikutnya dan memprediksi ketidakpastian (covariance).
2. Koreksi (Measurement Update): Ketika observasi baru tiba, filter menggabungkan observasi tersebut (yang selalu memiliki noise) dengan prediksi. Filter secara matematis menentukan bobot terbaik antara prediksi dan observasi untuk menghasilkan estimasi yang lebih akurat dan mengurangi ketidakpastian.
3. Keunggulan: Filter Kalman secara optimal mengintegrasikan model fisik (dinamika) dengan data sensor (observasi), menjadikannya ideal untuk mengelola ketidakpastian yang terus berubah dalam lingkungan dinamis.

7.3 Ephemeris dan Akurasi

Ephemeris modern (tabel posisi akurat) merupakan puncak dari Bab VII.

• JPL Ephemerides (DE440/LE440): Jet Propulsion Laboratory (JPL) secara rutin menerbitkan ephemeris yang paling akurat untuk Tata Surya, yang dibuat dengan mengintegrasikan numerik orbit dari semua planet utama, Bulan, dan ratusan asteroid terbesar sebagai bagian dari masalah $n$-benda yang masif, dan disesuaikan dengan pengamatan radar dan wahana antariksa presisi tinggi.
• Waktu Dinamik: Perhitungan ephemeris harus menggunakan skala waktu yang sangat tepat, seperti Waktu Dinamik Barysentris (TDB), yang memperhitungkan efek relativitas waktu di pusat massa Tata Surya.