Dalam Mekanika Klasik, sistem yang dihadapi jarang sekali berupa partikel bebas. Sebagian besar sistem memiliki batasan fisik yang membatasi gerak mereka (misalnya, bandul yang terikat pada tali, roda yang bergerak tanpa selip).

A. Gaya Batasan (Forces of Constraint)

Gaya Batasan adalah gaya yang memastikan suatu benda tetap mematuhi batasan geometris tertentu.

• Contoh:
  • Gaya Tegangan Tali: Gaya yang menjaga panjang tali bandul tetap konstan.
  • Gaya Normal: Gaya yang menjaga balok tetap berada di permukaan (tidak jatuh ke bawah permukaan).
  • Gaya Gesekan Statis (pada gerak tanpa selip): Gaya yang mencegah roda selip.
• Sifat Utama: Gaya Batasan sering kali tidak melakukan kerja ($W=0$). Misalnya, gaya tegangan pada bandul selalu tegak lurus terhadap arah perpindahan bandul, sehingga $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$.

B. Jenis-Jenis Batasan (Constraints)

Batasan diklasifikasikan berdasarkan sifat matematisnya, yang memengaruhi cara kita memilih koordinat:

1. Batasan Holonomik

• Definisi: Batasan yang dapat diekspresikan sebagai hubungan aljabar yang hanya melibatkan koordinat dan waktu ($t$), bukan kecepatan.$$f(q_1, q_2, \dots, q_N, t) = 0$$
• Implikasi: Batasan holonomik memungkinkan kita untuk mengurangi jumlah variabel independen dalam sistem. Jika ada $M$ batasan holonomik, kita dapat mengurangi $3N$ koordinat Kartesian menjadi $N’ = 3N – M$ Koordinat Umum yang independen.
• Contoh: Panjang tali bandul $l$ tetap: $x^2 + y^2 + z^2 – l^2 = 0$.

2. Batasan Non-Holonomik

• Definisi: Batasan yang tidak dapat diekspresikan hanya dalam bentuk koordinat, tetapi melibatkan kecepatan ($\dot{q}_i$) dalam cara yang tidak dapat diintegrasikan menjadi hubungan aljabar murni.$$g(q_i, \dot{q}_i, t) = 0$$
• Implikasi: Batasan non-holonomik tidak mengurangi jumlah derajat kebebasan. Kita harus menggunakan Pengganda Lagrange untuk memasukkannya ke dalam persamaan gerak.
• Contoh: Gerak roda atau bola yang menggelinding tanpa selip. Kecepatan roda ($\dot{x}$) harus sama dengan laju rotasi dikalikan jari-jari ($\dot{x} = R\dot{\theta}$). Hubungan ini melibatkan kecepatan.

C. Koordinat Umum (Generalized Coordinates, $q_i$)

Koordinat Umum adalah satu set variabel independen yang minimal ($N’$ buah) yang sepenuhnya mendefinisikan konfigurasi sistem.

• Fungsi: Mereka memungkinkan kita untuk mengabaikan gaya batasan dalam formulasi Lagrange.
• Transformasi: Koordinat Kartesian lama ($\mathbf{r}_i$) diubah menjadi Koordinat Umum baru ($q_i$):$$\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_{N’}, t)$$
• Keunggulan Lagrange: Persamaan Euler-Lagrange secara otomatis menghasilkan $N’$ persamaan diferensial orde dua yang independen, yang cukup untuk memecahkan gerak sistem tanpa perlu menghitung gaya batasan ($\mathbf{F}_{\text{constraint}}$) secara eksplisit.

D. Keunggulan Formulasi Lagrange

Untuk sistem holonomik, penggunaan Koordinat Umum memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah dinamika jauh lebih sederhana daripada metode Newton:

1. Metode Newton: Kita harus menuliskan $3N$ persamaan gerak, dan kemudian memasukkan $M$ persamaan batasan dan $M$ gaya batasan yang tidak diketahui. Ini menghasilkan sistem yang besar dan tidak efisien.
2. Metode Lagrange: Kita hanya menulis $N’$ persamaan Euler-Lagrange independen ($N’ = 3N – M$). Kita hanya berurusan dengan besaran skalar (energi kinetik dan potensial), bukan gaya vektor.

E. Batasan Skleronomik vs. Reonomik

• Batasan Skleronomik: Batasan yang tidak bergantung secara eksplisit pada waktu ($t$). Contoh: Bandul dengan panjang tali yang kaku dan tetap.
• Batasan Reonomik: Batasan yang bergantung secara eksplisit pada waktu ($t$). Contoh: Bandul yang panjang talinya diperpanjang atau dipersingkat seiring waktu ($l=l(t)$).

Klasifikasi ini penting karena memengaruhi definisi Hamiltonian ($H$). Untuk sistem holonomik, skleronomik, dan konservatif, Hamiltonian $H$ sama dengan Energi Total $E$ ($H = KE + PE$). Namun, untuk sistem reonomik, $H \neq E$.