Integrasi Parsial adalah kebalikan (invers) dari Aturan Produk (Product Rule) pada turunan. Aturan ini memungkinkan kita mengintegrasikan hasil perkalian dua fungsi, $f(x)g(x)$, yang tidak dapat dipecahkan dengan substitusi sederhana.

1. Rumus Dasar

Rumus Integrasi Parsial diturunkan dari Aturan Produk Turunan:

$$\frac{d}{dx} [u \cdot v] = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$$

Jika kita mengintegralkan kedua sisi persamaan terhadap $x$:

$$\int \frac{d}{dx} [u \cdot v] \, dx = \int u \frac{dv}{dx} \, dx + \int v \frac{du}{dx} \, dx$$

$$u \cdot v = \int u \, dv + \int v \, du$$

Setelah disusun ulang, kita mendapatkan Rumus Integrasi Parsial:

$$\int u \, dv = u \cdot v – \int v \, du$$

2. Strategi Penggunaan

Kunci keberhasilan Integrasi Parsial adalah memilih bagian dari fungsi yang akan menjadi $u$ dan bagian yang akan menjadi $dv$ sehingga integral $\int v \, du$ (integral baru) menjadi lebih mudah dipecahkan daripada integral awal $\int u \, dv$.

Ketika memilih $u$ dan $dv$:

• Pilih $u$ yang turunannya ($du$) menyederhanakan masalah.
• Pilih $dv$ yang mudah diintegralkan untuk mendapatkan $v$.

💡 Tip Mnemonik (LIATE/ILATE):

Ini adalah panduan umum untuk memilih $u$: pilih fungsi yang muncul lebih dulu dalam urutan ini sebagai $u$:

1. Logarithmic functions (misalnya, $\ln x$)
2. Inverse trigonometric functions (misalnya, $\arcsin x$)
3. Algebraic functions (misalnya, $x^2$, $x$)
4. Trigonometric functions (misalnya, $\sin x$, $\cos x$)
5. Exponential functions (misalnya, $e^x$, $2^x$)

3. Contoh Ilustrasi

Hitung integral $\int x \cdot \cos x \, dx$.

Ini adalah perkalian fungsi Aljabar ($x$) dan fungsi Trigonometri ($\cos x$).

Bagian	Keterangan	Fungsi	Operasi	Hasil
$u$	Dipilih yang lebih mudah diturunkan (Aljabar $x$)	$u = x$	Turunkan	$du = 1 \, dx$
$dv$	Sisanya (harus mudah diintegralkan)	$dv = \cos x \, dx$	Integralkan	$v = \sin x$

Substitusikan ke dalam rumus $\int u \, dv = u \cdot v – \int v \, du$:

1. Substitusi:$$\int x \cos x \, dx = (x)(\sin x) – \int (\sin x) (1 \, dx)$$
2. Sederhanakan:$$\int x \cos x \, dx = x \sin x – \int \sin x \, dx$$
3. Integralkan $\int v \, du$:Karena $\int \sin x \, dx = -\cos x$, maka:$$\int x \cos x \, dx = x \sin x – (-\cos x) + C$$
4. Hasil Akhir:$$\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$$

Integrasi Parsial memungkinkan kita mengubah integral yang sulit ($\int x \cos x$) menjadi satu suku yang mudah ($x \sin x$) ditambah integral baru yang jauh lebih mudah ($\int \sin x$).

---

Setelah menguasai Integrasi Substitusi dan Parsial, topik selanjutnya yang akan dibahas adalah Integrasi Fungsi Khusus:

1. Integrasi Fungsi Trigonometri: Metode untuk memecahkan integral yang melibatkan pangkat fungsi trigonometri (misalnya, $\int \sin^2 x \, dx$).
2. Substitusi Trigonometri: Teknik untuk integral yang melibatkan bentuk $\sqrt{a^2 – x^2}$ atau $\sqrt{x^2 + a^2}$.