Integral adalah konsep kunci dalam kalkulus yang pada dasarnya berfokus pada penjumlahan tak terhingga dari besaran-besaran kecil yang berubah secara terus-menerus.

1. Integral sebagai Anti-turunan (Integral Tak Tentu)

Konsep paling dasar dari integral adalah sebagai operasi kebalikan dari turunan, yang disebut Anti-turunan.

• Turunan ($f'(x)$) memberi tahu Anda laju perubahan atau kemiringan fungsi awal ($f(x)$).
• Anti-turunan (Integral Tak Tentu) mencari fungsi awal ($F(x)$) ketika Anda hanya mengetahui laju perubahannya.

Secara matematis, jika turunan dari $F(x)$ adalah $f(x)$, maka integral dari $f(x)$ adalah $F(x)$:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

• $\int$ adalah simbol integral.
• $f(x)$ adalah fungsi yang diintegralkan (integran).
• $dx$ menunjukkan variabel integrasi (dalam hal ini, $x$).
• $F(x)$ adalah fungsi anti-turunan.
• $C$ adalah konstanta integrasi. Konstanta ini muncul karena turunan dari konstanta ($C$) selalu nol. Artinya, ada banyak fungsi ($F(x) + 1$, $F(x) + 5$, $F(x) – 10$) yang memiliki turunan yang sama ($f(x)$).

2. Integral sebagai Akumulasi dan Luas (Integral Tentu)

Integral Tentu ($\int_{a}^{b} f(x) \, dx$) adalah konsep yang digunakan untuk menghitung akumulasi total atau luas bersih daerah di bawah kurva $f(x)$ dari batas bawah ($a$) hingga batas atas ($b$).

Konsep Dasar: Penjumlahan Riemann

Shutterstock

Untuk memahami bagaimana integral menghitung luas, bayangkan luas di bawah kurva dibagi menjadi banyak sekali persegi panjang yang sangat tipis.

1. Pendekatan Awal: Luas kurva didekati dengan menjumlahkan luas beberapa persegi panjang. Hasilnya kurang akurat.
2. Meningkatkan Akurasi: Kita membuat jumlah persegi panjang menjadi semakin banyak ($n \rightarrow \infty$) dan lebarnya menjadi sangat kecil ($\Delta x \rightarrow 0$).
3. Integral: Integral Tentu adalah limit dari jumlah luas persegi panjang tersebut (disebut Penjumlahan Riemann) saat lebar persegi panjang mendekati nol:$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$$

Integral Tentu memberikan nilai numerik yang merepresentasikan:

• Luas Bersih: Area di atas sumbu-x dianggap positif, dan area di bawah sumbu-x dianggap negatif.
• Akumulasi: Nilai total yang terakumulasi dari suatu besaran yang laju perubahannya diberikan oleh fungsi $f(x)$.

3. Teorema Fundamental Kalkulus (TFK)

TFK adalah jembatan yang menghubungkan kedua konsep di atas (anti-turunan dan luas). TFK menyatakan bahwa:

Untuk menghitung Integral Tentu, Anda cukup mencari anti-turunannya, lalu mengevaluasinya pada batas atas ($b$) dan batas bawah ($a$), dan menguranginya:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

Ini adalah alasan mengapa integral disebut “anti-turunan”; menemukan anti-turunan adalah cara yang sangat efisien untuk menghitung luas atau akumulasi.

4. Penerapan Integral

Integral digunakan secara luas di berbagai bidang karena kemampuannya menghitung total dari besaran yang terus berubah:

Penggunaan	Penjelasan Mendalam
Luas & Volume	Menghitung luas permukaan yang melengkung atau volume benda putar (misalnya, volume botol yang tidak berbentuk kubus).
Fisika	Jika laju kecepatan diberikan, integral memberikan total jarak tempuh. Jika gaya berubah-ubah, integral menghitung total usaha yang dilakukan.
Ekonomi	Menghitung surplus konsumen/produsen atau total biaya/pendapatan dari fungsi marginal.
Statistika & Probabilitas	Integral digunakan untuk menentukan probabilitas suatu kejadian dalam distribusi kontinu (misalnya, menghitung area di bawah kurva distribusi normal).