1. Titik Kesetimbangan dan Ekspansi Energi
Bayangkan sebuah sistem dengan $n$ derajat kebebasan yang dideskripsikan oleh koordinat umum $q_1, q_2, \dots, q_n$.
A. Syarat Kesetimbangan Stabil
Sistem berada dalam kesetimbangan di titik $q_0$ jika gaya umum pada titik tersebut adalah nol:
$$\left( \frac{\partial V}{\partial q_i} \right)_{q=q_0} = 0$$
Kesetimbangan dikatakan stabil jika energi potensial $V$ berada pada titik minimum lokal. Artinya, jika sistem digeser sedikit, akan muncul gaya pemulih yang mengembalikannya ke posisi semula.
B. Aproksimasi Kuadratik
Untuk simpangan kecil $\eta_i = q_i – q_{i0}$, kita melakukan ekspansi Taylor pada energi potensial $V$ di sekitar $q_0$:
$$V(q) \approx V(q_0) + \sum_{i} \left( \frac{\partial V}{\partial q_i} \right)_0 \eta_i + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \left( \frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j} \right)_0 \eta_i \eta_j$$
- Suku pertama ($V(q_0)$) adalah konstanta yang bisa kita abaikan (set ke nol).
- Suku kedua adalah nol (syarat kesetimbangan).
- Suku ketiga adalah bagian terpenting, yang kita tulis sebagai bentuk kuadratik:$$V \approx \frac{1}{2} \sum_{i,j} V_{ij} \eta_i \eta_j$$Di mana $\mathbf{V}$ adalah matriks kekakuan (Stiffness Matrix).
2. Energi Kinetik dan Matriks Massa
Untuk getaran kecil, energi kinetik $T$ juga dapat didekati sebagai bentuk kuadratik dari kecepatan umum $\dot{\eta}$:
$$T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} T_{ij} \dot{\eta}_i \dot{\eta}_j$$
Di mana $\mathbf{T}$ adalah matriks massa (Mass Matrix). Matriks ini biasanya bernilai positif definit karena energi kinetik tidak mungkin negatif.
Dengan demikian, Lagrangian sistem untuk getaran kecil adalah:
$$L = \frac{1}{2} \sum_{i,j} (T_{ij} \dot{\eta}_i \dot{\eta}_j – V_{ij} \eta_i \eta_j)$$
3. Persamaan Gerak dan Masalah Nilai Eigen
Menggunakan persamaan Euler-Lagrange, kita mendapatkan $n$ buah persamaan diferensial linear yang saling terkait:
$$\sum_{j} (T_{ij} \ddot{\eta}_j + V_{ij} \eta_j) = 0$$
Untuk menyelesaikan ini, kita mengasumsikan solusi harmonik di mana semua koordinat bergetar dengan frekuensi yang sama $\omega$:
$$\eta_j(t) = a_j e^{i\omega t}$$
Substitusi solusi ini menghasilkan Persamaan Sekuler:
$$\sum_{j} (V_{ij} – \omega^2 T_{ij}) a_j = 0$$
Dalam bentuk matriks:
$$(\mathbf{V} – \omega^2 \mathbf{T}) \mathbf{a} = 0$$
Agar solusi non-trivial (a tidak nol) ada, maka determinan matriks tersebut harus nol:
$$\det(\mathbf{V} – \omega^2 \mathbf{T}) = 0$$
4. Frekuensi Alami dan Mode Normal
A. Frekuensi Alami ($\omega_k$)
Akar-akar dari persamaan determinan di atas memberikan nilai $\omega_1^2, \omega_2^2, \dots, \omega_n^2$. Nilai $\omega_k$ disebut sebagai frekuensi alami sistem. Jika kesetimbangan stabil, semua nilai $\omega^2$ akan positif dan real.
B. Vektor Mode (Eigenvectors)
Untuk setiap $\omega_k$, terdapat vektor kolom $\mathbf{a}^{(k)}$ yang mendeskripsikan “bentuk” getaran. Vektor ini memberi tahu kita perbandingan amplitudo dan fase antar partikel dalam sistem pada frekuensi tersebut.
C. Mode Normal
Mode Normal adalah keadaan gerak di mana seluruh bagian sistem bergetar secara harmonik dengan frekuensi yang sama ($\omega_k$) dan melewati posisi setimbang secara bersamaan.
- Mode In-Phase: Partikel bergerak searah (misal: frekuensi rendah).
- Mode Out-of-Phase: Partikel bergerak berlawanan arah (misal: frekuensi tinggi).
5. Koordinat Normal: Dekopling Sistem
Masalah utama pada getaran kecil adalah persamaan gerak yang saling terkait (coupled). Untuk memudahkannya, kita melakukan transformasi koordinat dari $\eta_i$ ke Koordinat Normal $\zeta_k$.
Dalam koordinat normal, Lagrangian berubah menjadi:
$$L = \sum_{k} \frac{1}{2} (\dot{\zeta}_k^2 – \omega_k^2 \zeta_k^2)$$
Sekarang, sistem $n$ derajat kebebasan yang kompleks telah terpecah menjadi $n$ buah osilator harmonik sederhana yang independen. Setiap koordinat normal $\zeta_k$ bergetar sendirian dengan frekuensi $\omega_k$ tanpa memengaruhi koordinat lainnya. Gerak umum sistem apa pun hanyalah kombinasi linear (superposisi) dari mode-mode normal ini.
Contoh Spesifik: Molekul Diatomik (CO2)
Molekul $CO_2$ memiliki beberapa mode normal:
- Symmetric Stretching: Dua atom O menjauh/mendekat ke C secara bersamaan (C tetap diam).
- Asymmetric Stretching: Satu O mendekat sementara O lainnya menjauh dari C.
- Bending: Molekul menekuk membentuk sudut.
Analisis mode normal ini sangat krusial dalam Spektroskopi IR, karena setiap mode normal menyerap frekuensi cahaya yang berbeda.