Dalam geometri analitik, setiap titik $P(x, y)$ dapat dipindahkan ke posisi baru $P'(x’, y’)$ menggunakan operasi matriks. Persamaan umumnya adalah:
$$P’ = M \cdot P$$
Di mana $M$ adalah Matriks Transformasi. Berikut adalah jenis-jenis utamanya:
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi memindahkan setiap titik dengan jarak dan arah yang sama. Berbeda dengan yang lain, translasi biasanya menggunakan penjumlahan vektor atau sistem koordinat homogen agar bisa ditulis dalam perkalian matriks.
- Konsep: Titik $(x, y)$ digeser sejauh $a$ ke kanan dan $b$ ke atas.
- Rumus: $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi membalikkan objek terhadap garis tertentu (sumbu $X$, sumbu $Y$, atau garis $y=x$).
- Terhadap sumbu X: Matriksnya adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Nilai $y$ menjadi negatif.
- Terhadap sumbu Y: Matriksnya adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Nilai $x$ menjadi negatif.
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi memutar objek di sekitar titik pusat (biasanya $(0,0)$) sejauh sudut $\theta$.
- Matriks Rotasi: $$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$Jika Anda ingin memutar titik $(1, 0)$ sejauh $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam, hasil perkalian matriksnya akan menghasilkan titik $(0, 1)$.
4. Dilatasi (Skala)
Dilatasi mengubah ukuran objek (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuknya, dengan faktor skala $k$.
- Matriks Skala: $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$Jika $k > 1$ objek membesar, jika $0 < k < 1$ objek mengecil.
Mengapa Menggunakan Matriks?
Inilah alasan mengapa teknisi dan pengembang game menggunakan metode ini:
- Komposisi Transformasi: Jika Anda ingin memutar objek, lalu menggesernya, lalu memperbesarnya, Anda cukup mengalikan ketiga matriks tersebut ($M_{total} = M_3 \cdot M_2 \cdot M_1$). Hasilnya adalah satu matriks tunggal yang mewakili semua perubahan tersebut.
- Efisiensi Komputer: Kartu grafis (GPU) dirancang khusus untuk melakukan perkalian matriks jutaan kali per detik. Itulah sebabnya game 3D bisa berjalan dengan halus.
- Dimensi Tinggi: Konsep ini dengan mudah diperluas ke ruang 3D dengan menggunakan matriks $3 \times 3$ atau $4 \times 4$.