Geometri Diferensial adalah cabang matematika yang menggunakan Kalkulus (turunan dan integral) untuk mempelajari sifat-sifat geometri kurva, permukaan, dan ruang yang lebih umum.

Sementara Geometri Euclid berfokus pada garis lurus dan bidang datar, Geometri Diferensial berfokus pada ruang yang melengkung.

1. Objek Studi

Objek utama dalam Geometri Diferensial adalah:

• Kurva: Objek 1-dimensi yang dapat melengkung di ruang 2D atau 3D.
• Permukaan: Objek 2-dimensi yang melengkung (misalnya, permukaan bola atau torus) di ruang 3D.
• Manifold: Generalisasi dari kurva dan permukaan ke dimensi $n$ (digunakan dalam teori relativitas dan fisika partikel).

2. Konsep Kunci: Turunan dan Vektor

Untuk menganalisis kelengkungan, Geometri Diferensial menggunakan alat kalkulus:

• Vektor Singgung (Tangent Vector): Turunan pertama dari kurva pada titik tertentu memberikan vektor yang arahnya adalah arah kurva pada titik tersebut. Ini membantu mendefinisikan “garis lurus” terdekat (singgung) di titik yang melengkung.
• Bidang Singgung (Tangent Plane): Pada permukaan yang melengkung (seperti permukaan bola), bidang singgung adalah bidang datar terbaik yang dapat merepresentasikan permukaan pada titik tersebut.

3. Kelengkungan (Curvature)

Ini adalah konsep sentral dalam Geometri Diferensial. Kelengkungan mengukur seberapa cepat arah kurva atau permukaan menyimpang dari garis atau bidang datar.

• Untuk Kurva: Kelengkungan ($k$) adalah kebalikan dari jari-jari lingkaran yang paling mendekati kurva pada titik tersebut (osculating circle).$$k = \left| \frac{d\vec{T}}{ds} \right|$$di mana $\vec{T}$ adalah vektor singgung satuan, dan $s$ adalah panjang busur.
• Untuk Permukaan (Kelengkungan Gaussian $K$): Ini mengukur kelengkungan intrinsik permukaan.
  • $K > 0$ (Kelengkungan Positif): Seperti pada permukaan bola.
  • $K < 0$ (Kelengkungan Negatif): Seperti pada permukaan pelana (Geometri Hiperbolik).
  • $K = 0$ (Kelengkungan Nol): Seperti pada bidang datar atau permukaan silinder (Geometri Euclid).

4. Teorema Egregium Gauss

Salah satu hasil paling mendalam dari Geometri Diferensial adalah Teorema Egregium (Teorema Luar Biasa) oleh Carl Friedrich Gauss.

Teorema: Kelengkungan Gaussian ($K$) suatu permukaan adalah sifat intrinsik (melekat) dari permukaan tersebut. Itu berarti $K$ dapat ditentukan hanya dengan mengukur jarak dan sudut di dalam permukaan itu sendiri, tanpa perlu merujuk ke ruang tiga dimensi di luarnya.

• Implikasi: Seseorang yang hidup di permukaan bola dapat menyimpulkan bahwa ruangnya melengkung hanya dengan mengukur segitiga di permukaannya—tanpa harus melihat ke luar bola. Ini adalah fondasi mengapa Geometri Diferensial menjadi bahasa untuk Relativitas Umum, di mana gravitasi dipahami sebagai kelengkungan dari ruang-waktu.

Geometri Diferensial adalah alat yang kuat, memungkinkan kita untuk menganalisis dan menghitung geometri non-Euclides dan permukaan yang kompleks menggunakan metode kalkulus yang presisi.