Hingga abad ke-19, Geometri yang dipelajari dan diyakini kebenarannya adalah Geometri Euclid (Geometri Datar). Geometri ini didasarkan pada lima postulat (asumsi dasar) yang diajukan oleh matematikawan Yunani, Euclid, sekitar 300 SM.
Lima postulat tersebut meliputi hal-hal yang intuitif, seperti:
Dari sembarang titik ke sembarang titik dapat ditarik sebuah garis lurus.
Sebuah garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas.
Dari setiap pusat dan jari-jari dapat dibuat sebuah lingkaran.
Semua sudut siku-siku adalah sama.
Postulat yang menimbulkan perdebatan selama ribuan tahun adalah postulat kelima.
Postulat Paralel Euclid (Postulat ke-5)
Melalui sebuah titik $P$ yang berada di luar sebuah garis $L$, hanya dapat ditarik satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan $L$.
Matematikawan berabad-abad mencoba membuktikan postulat ini dari empat postulat pertama, tetapi selalu gagal. Kegagalan inilah yang akhirnya melahirkan Geometri Non-Euclides. bahas lebih detail

Konteks Historis: Elements Euclid

Geometri Klasik berakar pada karya monumental Euclid dari Alexandria (sekitar 300 SM) berjudul Elements. Buku ini bukan hanya menyajikan Geometri Datar (Plane Geometry) yang kita kenal, tetapi juga menetapkan standar untuk penalaran deduktif yang menjadi model untuk matematika modern. Seluruh sistem Euclid dibangun secara logis dari sekumpulan kecil asumsi dasar: lima postulat dan lima gagasan umum (common notions).

---

Empat Postulat Pertama (Postulat yang Jelas)

Empat postulat pertama dianggap intuitif dan tidak menimbulkan keraguan karena mudah dibayangkan dan diterapkan dalam kehidupan sehari-hari pada permukaan datar.

Postulat I: Menentukan Garis

“Dari sembarang titik ke sembarang titik dapat ditarik sebuah garis lurus.”

• Implikasi: Menjamin bahwa garis lurus adalah penghubung mendasar antara dua lokasi. Ini menetapkan keberadaan (eksistensi) garis.

Postulat II: Garis Diperpanjang

“Sebuah garis lurus dapat diperpanjang secara kontinu (tanpa batas) menjadi garis lurus.”

• Implikasi: Menetapkan bahwa garis Euclid adalah tak terbatas (infinite). Ini membedakannya dari segmen garis yang memiliki panjang tertentu.

Postulat III: Keberadaan Lingkaran

“Dari setiap pusat dan jari-jari dapat dibuat sebuah lingkaran.”

• Implikasi: Menjamin bahwa lingkaran dapat dibangun dari titik pusat dan jarak tertentu. Ini memungkinkan konstruksi bentuk-bentuk penting lainnya.

Postulat IV: Kesamaan Sudut Siku-siku

“Semua sudut siku-siku adalah sama satu sama lain.”

• Implikasi: Menetapkan bahwa ruang adalah homogen—aturan sudut siku-siku (90 derajat) berlaku di mana pun di bidang datar.

---

Postulat Paralel (Postulat V): Sumber Kontroversi ⚠️

Postulat kelima memiliki sifat yang sangat berbeda dari empat yang lain: ia lebih panjang, lebih kompleks, dan terasa kurang “mendasar” atau “jelas” secara intuitif.

Postulat V (Versi Euclid Asli)

“Jika sebuah garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis lurus itu, jika diperpanjang tanpa batas, akan berpotongan pada sisi di mana sudut-sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku.”

Versi Modern (Postulat Playfair)

“Melalui sebuah titik $P$ yang berada di luar sebuah garis $L$, hanya dapat ditarik satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan $L$.”

Mengapa Postulat ini Diperdebatkan?

1. Kurang Jelas: Empat postulat pertama hanya memerlukan konstruksi lokal (menghubungkan dua titik, membuat lingkaran). Postulat kelima, sebaliknya, menyangkut apa yang terjadi ketika garis diperpanjang tanpa batas, yang tidak mungkin diuji secara fisik.
2. Masalah Ketergantungan: Banyak matematikawan (termasuk Euclid sendiri, yang menunda penggunaannya sebisa mungkin) merasa postulat ini seharusnya dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat postulat pertama, bukan sekadar diasumsikan. Mereka khawatir ini adalah asumsi yang terlalu besar dan berharap bisa menunjukkan bahwa postulat ini bergantung pada empat postulat pertama.

Upaya Pembuktian yang Gagal

Selama lebih dari dua ribu tahun, upaya-upaya untuk membuktikan Postulat Paralel menjadi sia-sia. Setiap “bukti” yang diajukan pada akhirnya terbukti secara implisit mengasumsikan Postulat Paralel itu sendiri atau pernyataan lain yang setara dengannya (misalnya, bahwa jumlah sudut segitiga adalah $180^\circ$).

Kegagalan untuk membuktikan Postulat Paralel dari empat postulat pertama akhirnya menghasilkan revolusi. Pada abad ke-19, matematikawan seperti Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky, dan János Bolyai menyadari hal yang mengejutkan:

Jika Postulat Paralel diganti atau dihilangkan, sistem logika yang konsisten secara internal masih dapat dibangun.

Penemuan ini—bahwa Geometri Euclid hanyalah salah satu dari banyak geometri yang mungkin—adalah kelahiran dari Geometri Non-Euclides (Geometri Hiperbolik dan Eliptik). Ini menunjukkan bahwa postulat-postulat Euclid menggambarkan sifat ruang datar, tetapi bukan satu-satunya ruang yang mungkin.