Pembahasan mengenai Dinamika dalam Kerangka Acuan Non-Inersia adalah salah satu bagian paling menarik dalam mekanika klasik karena menjelaskan bagaimana hukum fisika berubah ketika pengamat itu sendiri sedang bergerak dipercepat.
Mari kita bedah secara matematis dan konseptual dengan lebih mendalam.
1. Transformasi Operator Turunan
Kunci untuk memahami kerangka non-inersia (khususnya yang berputar) adalah hubungan antara turunan waktu dari sebuah vektor di kerangka diam (inersial, $S$) dan kerangka berputar (non-inersial, $S’$).
Misalkan sebuah vektor $\mathbf{A}$ diamati oleh kedua kerangka. Hubungan operatornya adalah:
$$\left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} \right)_{\text{inersial}} = \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} \right)_{\text{rotasi}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}$$
Di mana $\boldsymbol{\omega}$ adalah kecepatan sudut kerangka berputar. Persamaan ini menyatakan bahwa perubahan vektor di mata pengamat diam adalah perubahan yang dilihat pengamat berputar ditambah dengan efek rotasi itu sendiri.
2. Penurunan Percepatan Total
Jika kita menerapkan operator di atas dua kali pada vektor posisi $\mathbf{r}$, kita akan mendapatkan hubungan percepatan antara kedua kerangka. Inilah “persamaan induk” dinamika non-inersia:
$$\mathbf{a}_i = \mathbf{a}_r + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \mathbf{A}_0$$
- $\mathbf{a}_i$: Percepatan di kerangka inersial.
- $\mathbf{a}_r$: Percepatan yang terukur di kerangka berputar.
- $\mathbf{A}_0$: Percepatan translasi asal koordinat kerangka $S’$ terhadap $S$.
3. Gaya-Gaya Fiktif (Pseudo-Forces)
Agar Hukum II Newton tetap terlihat “bekerja” di kerangka non-inersia ($m\mathbf{a}_r = \sum \mathbf{F}_{\text{total}}$), kita harus memindahkan semua suku tambahan ke sisi gaya. Suku-suku inilah yang kita sebut Gaya Fiktif:
A. Gaya Coriolis ($\mathbf{F}_{\text{cor}}$)
$$\mathbf{F}_{\text{cor}} = -2m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_r)$$
- Keunikan: Gaya ini hanya muncul jika benda bergerak ($\mathbf{v}_r \neq 0$) di dalam kerangka berputar.
- Efek: Menyebabkan pembelokan arah gerak. Di belahan bumi utara, benda akan membelok ke kanan, dan di selatan ke kiri. Ini menjelaskan arah putaran badai (siklon).
B. Gaya Sentrifugal ($\mathbf{F}_{\text{cf}}$)
$$\mathbf{F}_{\text{cf}} = -m \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$$
- Keunikan: Gaya ini selalu mengarah menjauhi sumbu rotasi secara radial.
- Efek: Menyebabkan Bumi tidak bulat sempurna melainkan pepat di kutub (oblate spheroid) karena massa di ekuator “terdorong” keluar.
C. Gaya Euler ($\mathbf{F}_{\text{euler}}$)
$$\mathbf{F}_{\text{euler}} = -m (\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r})$$
- Keunikan: Hanya muncul jika rotasi kerangka itu sendiri dipercepat atau diperlambat ($\dot{\boldsymbol{\omega}} \neq 0$).
4. Studi Kasus: Bumi sebagai Kerangka Non-Inersia
Bumi berputar pada porosnya, yang berarti kita sebenarnya hidup di dalam kerangka non-inersia. Dua fenomena besar yang dihasilkan adalah:
A. Gravitasi Efektif ($\mathbf{g}_{\text{eff}}$)
Berat yang kita rasakan di Bumi bukan hanya tarikan gravitasi murni ($G$), tetapi kombinasi gravitasi dan gaya sentrifugal:
$$\mathbf{g}_{\text{eff}} = \mathbf{g}_0 – \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{R})$$
Akibatnya, percepatan gravitasi di ekuator ($\approx 9.78 \text{ m/s}^2$) sedikit lebih kecil daripada di kutub ($\approx 9.83 \text{ m/s}^2$).
B. Pendulum Foucault
Ini adalah pembuktian paling elegan bahwa Bumi berputar. Jika Bumi diam, ayunan pendulum hanya akan bergerak bolak-balik di satu garis. Namun, karena gaya Coriolis, bidang ayunan pendulum akan berputar perlahan seiring waktu.
5. Hubungan dengan Mekanika Hamilton (Energi)
Dalam kerangka berputar, Hamiltonian ($H$) sering kali tidak sama dengan energi total ($E$) jika kita menggunakan koordinat yang melekat pada rotasi. Namun, muncul sebuah kuantitas yang kekal yang disebut Energi Jacobi atau Integral Jacobi.
Di sini, gaya sentrifugal dapat dianggap berasal dari sebuah “Potensial Sentrifugal”:
$$V_{\text{cf}} = -\frac{1}{2} m (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^2$$
Dengan memasukkan potensial fiktif ini ke dalam Lagrangian, kita bisa menyelesaikan masalah dinamika yang sangat rumit (seperti gerak satelit di sekitar dua planet) dengan jauh lebih mudah.