Bab ini merupakan fondasi utama dari mekanika benda langit, yang menggabungkan hasil pengamatan empiris (Hukum Kepler) dengan penjelasan teoretis melalui fisika klasik (Hukum Newton).
1.1 Hukum Kepler: Deskripsi Gerak Orbital
Johannes Kepler merumuskan tiga hukum ini pada awal abad ke-17 setelah menganalisis data pengamatan planet Mars yang sangat akurat yang dikumpulkan oleh gurunya, Tycho Brahe. Hukum Kepler bersifat deskriptif; mereka menjelaskan bagaimana planet bergerak, tetapi tidak menjelaskan mengapa mereka bergerak seperti itu.
Hukum I: Hukum Elips
“Setiap planet bergerak mengelilingi Matahari dalam lintasan berbentuk elips, dengan Matahari berada pada salah satu titik fokusnya.”
- Bentuk Orbit: Sebelum Kepler, model yang dominan (Ptolemy dan Copernicus) menggunakan lingkaran sempurna. Kepler menemukan bahwa orbit planet adalah elips, bukan lingkaran.
- Titik Fokus: Sebuah elips memiliki dua titik fokus. Dalam sistem Tata Surya, Matahari berada di salah satu fokus ($F_1$ atau $F_2$), bukan di pusat elips.
- Terminologi Kunci:
- Perihelion: Titik terdekat planet ke Matahari (kecepatan maksimum).
- Aphelion: Titik terjauh planet dari Matahari (kecepatan minimum).
- Setengah Sumbu Mayor ($a$): Jarak rata-rata planet dari Matahari.
Hukum II: Hukum Luas yang Sama
“Garis yang menghubungkan planet ke Matahari menyapu luas daerah yang sama dalam selang waktu yang sama.”
- Konsekuensi Kecepatan: Untuk menyapu luas yang sama, planet harus bergerak lebih cepat saat berada di dekat Matahari (perihelion) dan lebih lambat saat berada jauh dari Matahari (aphelion).
- Kekekalan Momentum Sudut: Secara fisika, hukum ini adalah manifestasi dari hukum kekekalan momentum sudut ($\vec{L}$). Karena tidak ada torsi eksternal signifikan yang bekerja pada planet (gravitasi adalah gaya pusat), momentum sudutnya harus tetap konstan.$$\vec{L} = m (\vec{r} \times \vec{v}) = \text{konstan}$$Di mana $m$ adalah massa planet, $\vec{r}$ adalah vektor posisi, dan $\vec{v}$ adalah vektor kecepatan.
Hukum III: Hukum Harmonis
“Kuadrat periode orbit ($T^2$) suatu planet berbanding lurus dengan pangkat tiga jarak rata-rata atau setengah sumbu mayor ($a^3$) dari Matahari.”
- Hubungan Periodik: Hukum ini menghubungkan ukuran orbit dengan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran. Secara matematis:$$\frac{T^2}{a^3} = \text{konstan}$$
- Implikasi Fisika: Konstanta ini sama untuk semua planet yang mengorbit Matahari. Ini menunjukkan adanya hukum tunggal yang mengatur gerak semua planet, membuka jalan bagi Newton.
1.2 Hukum Newton: Penjelasan Fisik Gerak Orbital
Sekitar 50 tahun setelah Kepler, Sir Isaac Newton memberikan dasar teoretis untuk menjelaskan mengapa Hukum Kepler berlaku, dengan memperkenalkan Hukum Gerak dan Hukum Gravitasinya.
Hukum Gravitasi Universal
Hukum ini menjadi kunci utama:
“Setiap partikel materi di alam semesta menarik setiap partikel materi lain dengan gaya yang sebanding dengan hasil kali massa mereka dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara pusat mereka.”
Secara matematis, gaya gravitasi ($F_g$) dirumuskan sebagai:
$$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$
- $G$: Konstanta Gravitasi Universal.
- $m_1, m_2$: Massa dua benda.
- $r$: Jarak antara pusat massa kedua benda.
Hukum Gerak II Newton
Hukum ini menghubungkan gaya dengan gerak:
“Perubahan momentum suatu benda sebanding dengan gaya netto yang bekerja padanya dan berada dalam arah gaya netto itu.”
$$F = ma$$
Di mana $F$ adalah gaya total (dalam hal ini, $F_g$), $m$ adalah massa benda yang bergerak (planet), dan $a$ adalah percepatannya.
Penyatuan Kepler dan Newton: Masalah Dua Benda
Newton berhasil menunjukkan bahwa:
- Gaya sentripetal yang dibutuhkan untuk menjaga sebuah planet dalam orbitnya adalah persis sama dengan gaya gravitasi dari Matahari.
- Dengan menyamakan kedua gaya ini ($F_{\text{gravitasi}} = F_{\text{sentripetal}}$) dan menerapkan kalkulus, Newton dapat menurunkan secara matematis ketiga Hukum Kepler. Hal ini membuktikan bahwa gerakan benda langit diatur oleh hukum fisika yang sama dengan benda-benda di Bumi, menyatukan fisika terestrial dan fisika langit.
- Newton juga memperbaiki Hukum III Kepler menjadi bentuk yang lebih akurat, yang mempertimbangkan massa kedua benda ($M_1$ dan $M_2$):$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3$$Dalam sistem Tata Surya, massa Matahari ($M_{\text{Matahari}}$) jauh lebih besar daripada massa planet ($M_{\text{planet}}$), sehingga $M_1 + M_2 \approx M_{\text{Matahari}}$, dan persamaan kembali mendekati bentuk Hukum Kepler III yang asli.
Ini adalah inti dari Bab I, yang menetapkan bahwa gerak planet dan benda langit lainnya adalah hasil dari keseimbangan dinamis antara kelembaman (kecenderungan untuk bergerak lurus) dan tarikan gravitasi (gaya sentripetal menuju benda pusat).