Bab ini membahas empat operasi aritmetika dasar—penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian—yang diterapkan pada ekspresi aljabar. Kunci dari semua operasi ini adalah pemahaman yang kuat tentang suku sejenis (dari Bab 1) dan aturan eksponen.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Prinsip fundamental untuk operasi ini adalah: Hanya suku-suku sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Aturan Utama:
- Identifikasi Suku Sejenis: Suku harus memiliki variabel yang sama dan pangkat yang sama. Misalnya, 3×2 hanya dapat dioperasikan dengan −5×2, bukan dengan 3x atau 5y2.
- Operasikan Koefisien: Saat menjumlahkan atau mengurangkan, kita hanya mengoperasikan koefisiennya. Variabel dan pangkatnya tetap sama.
- Prioritas: Dalam ekspresi yang panjang, kelompokkan suku-suku sejenis terlebih dahulu untuk memudahkan.
Contoh Lengkap:
Sederhanakan: (7ab−5a+3b)−(2ab+6a−8)
- Buka Kurung Kedua: Ubah tanda setiap suku di dalam kurung yang dikurangi. 7ab−5a+3b−2ab−6a+8
- Kelompokkan Suku Sejenis: (7ab−2ab)+(−5a−6a)+(3b)+(8)
- Jumlahkan/Kurangkan Koefisien: (7−2)ab+(−5−6)a+3b+8
- Hasil Akhir: 5ab−11a+3b+8
2. Perkalian Bentuk Aljabar
Perkalian berlaku untuk semua suku dan memanfaatkan Sifat Distributif serta Aturan Eksponen.
Aturan Eksponen dalam Perkalian:
Jika variabel yang sama dikalikan, pangkatnya dijumlahkan: am⋅an=am+n.
A. Perkalian Monomial dengan Monomial (Satu Suku)
Kalikan koefisien, lalu kalikan variabel.
Contoh: (−3x2y)⋅(4×3)=(−3⋅4)⋅(x2+3)⋅y=−12x5y
B. Perkalian Monomial dengan Polinomial
Gunakan Sifat Distributif: a(b+c)=ab+ac. Kalikan suku tunggal di luar kurung dengan setiap suku di dalam kurung.
Contoh: 5a2(2a−3b+1)=(5a2⋅2a)+(5a2⋅(−3b))+(5a2⋅1)
Hasil: 10a3−15a2b+5a2
C. Perkalian Polinomial dengan Polinomial
Gunakan Distributif Ganda. Kalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua.
Contoh: (2x−1)(x2+3x−4)
Langkah 1 (Distribusi 2x): 2x(x2)+2x(3x)+2x(−4)=2×3+6×2−8x
Langkah 2 (Distribusi −1): −1(x2)−1(3x)−1(−4)=−x2−3x+4
Langkah 3 (Gabungkan Suku Sejenis): 2×3+(6×2−x2)+(−8x−3x)+4
Hasil Akhir: 2×3+5×2−11x+4
D. Rumus Perkalian Khusus (Identitas Aljabar):
Ini sangat penting untuk efisiensi dan pemfaktoran (Bab 3):
- Kuadrat Binomial:
- (a+b)2=a2+2ab+b2
- (a−b)2=a2−2ab+b2
- Selisih Kuadrat:
- (a+b)(a−b)=a2−b2
3. Pembagian Bentuk Aljabar
Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian dan sering disederhanakan melalui pemfaktoran atau pembagian bersusun.
Aturan Eksponen dalam Pembagian:
Jika variabel yang sama dibagi, pangkatnya dikurangkan: am÷an=am−n.
A. Pembagian Monomial dengan Monomial
Bagi koefisien, lalu kurangi pangkat variabel.
Contoh: 6a2b24a5b3=624a5−2b3−1=4a3b2
B. Pembagian Polinomial dengan Monomial
Bagi setiap suku pada pembilang (polinomial) dengan penyebut (monomial).
Contoh: 3x9x3+6×2−12x=3x9x3+3x6x2−3x12x
Hasil: 3×2+2x−4
C. Pembagian Polinomial dengan Polinomial
Untuk kasus ini, biasanya digunakan metode Pembagian Bersusun (mirip dengan pembagian bilangan biasa) atau Pemfaktoran.
Contoh: (x2+5x+6)÷(x+2)
- Faktorkan Pembilang: x2+5x+6=(x+2)(x+3)
- Sederhanakan: (x+2)(x+2)(x+3)
- Hasil Akhir: x+3 (dengan syarat x=−2)
4. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Perpangkatan adalah bentuk perkalian berulang. Ini menggabungkan aturan perkalian dan aturan eksponen tambahan.
Aturan Eksponen dalam Perpangkatan:
Jika suku berpangkat dipangkatkan lagi, pangkatnya dikalikan: (am)n=am⋅n.
Contoh Lengkap:
Hitung: (2x3y2)3
- Pangkatkan Koefisien: 23=8
- Pangkatkan Variabel (pangkat dikali): (x3)3=x3⋅3=x9; (y2)3=y2⋅3=y6
- Hasil Akhir: 8x9y6
Ringkasan Aturan Eksponen Krusial
| Operasi | Aturan | Contoh |
| Perkalian | am⋅an=am+n | x4⋅x2=x6 |
| Pembagian | am÷an=am−n | x5÷x2=x3 |
| Perpangkatan | (am)n=am⋅n | (x3)4=x12 |
| Pangkat Nol | a0=1 (untuk a=0) | 5×0=5⋅1=5 |
| Pangkat Negatif | a−n=an1 | x−2=x21 |
Penguasaan Bab 2 ini sangat penting karena operasi aljabar yang benar adalah dasar untuk menyelesaikan persamaan (Bab 3) dan memfaktorkan ekspresi kuadratik dan polinomial lainnya.