Dekomposisi Pecahan Parsial

Teknik ini digunakan untuk memecah satu pecahan yang kompleks menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan yang lebih sederhana (parsial), sehingga masing-masing bagian dapat diintegralkan dengan mudah (biasanya menghasilkan fungsi Logaritma atau Arctangen).

1. Syarat Utama: Pecahan Sejati

Sebelum melakukan dekomposisi, pastikan derajat polinomial pembilang $P(x)$ lebih kecil daripada derajat penyebut $Q(x)$.

• Jika derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut, lakukan pembagian polinomial (porogapit) terlebih dahulu hingga diperoleh sisa yang merupakan pecahan sejati.

2. Strategi Berdasarkan Jenis Faktor Penyebut

Langkah pertama adalah memfaktorkan penyebut $Q(x)$ sepenuhnya. Bentuk pecahannya bergantung pada jenis faktor tersebut:

A. Faktor Linear yang Berbeda

Jika $Q(x) = (ax + b)(cx + d)$, maka:

$$\frac{P(x)}{(ax + b)(cx + d)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d}$$

B. Faktor Linear Berulang

Jika ada faktor yang sama, misalnya $(ax + b)^k$, maka kita harus menuliskan setiap pangkat dari 1 sampai $k$:

$$\frac{P(x)}{(ax + b)^2} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2}$$

C. Faktor Kuadratik yang Tidak Bisa Difaktorkan

Jika ada faktor seperti $(ax^2 + bx + c)$, maka pembilangnya harus berbentuk linear ($Ax + B$):

$$\frac{P(x)}{(ax + b)(x^2 + c)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{Bx + C}{x^2 + c}$$

3. Langkah-Langkah Penyelesaian

1. Faktorkan penyebut $Q(x)$ sampai sekecil mungkin.
2. Tuliskan bentuk pecahan parsial dengan konstanta yang belum diketahui ($A, B, C, \dots$).
3. Kalikan kedua sisi dengan penyebut asli untuk menghilangkan pecahan.
4. Cari nilai konstanta ($A, B, \dots$):
   • Metode Substitusi: Masukkan nilai $x$ yang membuat faktor menjadi nol.
   • Metode Kesamaan Koefisien: Bandingkan koefisien $x^2, x$, dan konstanta antara sisi kiri dan kanan.
5. Integralkan masing-masing pecahan parsial yang sudah ditemukan nilainya.

Contoh Singkat

Hitung $\int \frac{1}{x^2 – x} dx$:

1. Faktorkan penyebut: $x(x – 1)$.
2. Bentuk parsial: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$.
3. Cari nilai $A$ dan $B$: Setelah dihitung, didapat $A = -1$ dan $B = 1$.
4. Integralkan:$$\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} \right) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + C$$