Substitusi Trigonometri adalah teknik yang digunakan untuk menghilangkan bentuk akar kuadrat dari kuadrat (quadratic forms) yang muncul di dalam integral, seperti $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ atau $\sqrt{x^2 – a^2}$.

I. Alasan dan Konsep Kunci

Tujuan utama teknik ini adalah mengubah ekspresi aljabar yang sulit diintegralkan menjadi ekspresi trigonometri yang lebih mudah menggunakan Identitas Pythagoras:

1. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$
2. $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
3. $\sec^2 \theta – 1 = \tan^2 \theta$

Dengan mensubstitusi $x$ dengan fungsi trigonometri yang tepat, ekspresi di bawah akar kuadrat akan berubah menjadi kuadrat sempurna dari fungsi trigonometri lain, yang memungkinkan akar kuadrat dihilangkan.

II. Tiga Kasus Substitusi Utama

Variabel $a$ selalu merepresentasikan konstanta positif.

Bentuk dalam Integral	Substitusi yang Direkomendasikan	Identitas yang Digunakan	Hasil Penyederhanaan Akar
1. $\sqrt{a^2 – x^2}$	$x = a \sin \theta$	$1 – \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$	$\sqrt{a^2 \cos^2 \theta} = a \cos \theta$
2. $\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a \tan \theta$	$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$	$\sqrt{a^2 \sec^2 \theta} = a \sec \theta$
3. $\sqrt{x^2 – a^2}$	$x = a \sec \theta$	$\sec^2 \theta – 1 = \tan^2 \theta$	$\sqrt{a^2 \tan^2 \theta} = a \tan \theta$

III. Langkah-Langkah Lengkap Penyelesaian

Berikut adalah langkah-langkah rinci yang harus diikuti untuk setiap masalah substitusi trigonometri:

Langkah 1: Identifikasi dan Tentukan Substitusi

Tentukan bentuk kuadrat mana yang ada, dan identifikasi nilai $a$. Tuliskan substitusi untuk $x$ dan $dx$.

Langkah 2: Sederhanakan Ekspresi Akar

Substitusikan $x$ ke dalam ekspresi akar kuadrat dan gunakan identitas Pythagoras untuk menyederhanakannya menjadi fungsi trigonometri tunggal (seperti pada tabel di atas).

Langkah 3: Substitusi ke dalam Integral

Ganti semua bagian integral ($x$, ekspresi akar, dan $dx$) dengan ekspresi $\theta$. Integral yang dihasilkan akan sepenuhnya berbentuk fungsi trigonometri.

Langkah 4: Selesaikan Integral Trigonometri

Selesaikan integral baru menggunakan aturan dasar, atau teknik khusus untuk integral trigonometri (misalnya, identitas setengah sudut, atau substitusi sederhana $u$).

Langkah 5: Substitusi Balik ke Variabel $x$

Setelah integral terselesaikan, hasilnya akan berupa fungsi dalam $\theta$. Kita harus mengembalikannya ke variabel asli $x$.

• Gambar Segitiga Siku-Siku: Buat segitiga siku-siku berdasarkan hubungan substitusi awal ($x$ dalam $\theta$).
  • Jika $x = a \sin \theta$, maka $\sin \theta = x/a$. (Sisi depan $= x$, Hipotenusa $= a$).
  • Sisi lain segitiga dihitung menggunakan Pythagoras.
• Gunakan Segitiga: Gunakan segitiga tersebut untuk menemukan nilai fungsi trigonometri lain (misalnya, $\sec \theta$ atau $\tan \theta$) yang muncul dalam hasil integral akhir, dan nyatakan dalam bentuk $x$.

IV. Kasus Khusus: Melengkapkan Kuadrat

Substitusi Trigonometri juga diperlukan jika integran mengandung bentuk kuadrat seperti $x^2 + 6x + 13$ (bukan bentuk kuadrat standar $a^2 \pm x^2$).

Dalam kasus ini, Anda harus Melengkapkan Kuadrat terlebih dahulu untuk mengubahnya menjadi salah satu dari tiga bentuk dasar:

$$x^2 + 6x + 13 = (x^2 + 6x + 9) + 4 = (x+3)^2 + 4$$

Kemudian, gunakan substitusi sederhana $u = x+3$ dan terapkan substitusi trigonometri yang sesuai pada bentuk $\sqrt{u^2 + a^2}$.