A. Definisi Vektor vs. Skalar

Dalam fisika dan matematika, besaran dibagi menjadi dua:

1. Skalar: Besaran yang hanya memiliki nilai (magnitude).
   • Contoh: Jarak (5 km), Waktu (10 detik), Suhu (30°C).
2. Vektor: Besaran yang memiliki nilai (magnitude)danarah (direction).
   • Contoh: Perpindahan (5 km ke Utara), Kecepatan (30 km/jam ke Barat Daya), Gaya (10 Newton ke bawah).

B. Notasi dan Representasi Vektor

Vektor dapat direpresentasikan dalam beberapa cara:

1. Secara Geometris: Digambarkan sebagai ruas garis berarah (panah).
   • Titik Pangkal (Initial Point): Tempat vektor dimulai.
   • Titik Ujung (Terminal Point): Tempat panah berakhir, menunjukkan arah vektor.
   • Panjang Panah: Merepresentasikan besar (magnitude) vektor.
2. Secara Aljabar (Komponen):
   • Vektor Kolom: Digunakan untuk kemudahan operasi matriks.$$\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
   • Vektor Baris:$$\vec{a} = (x, y, z)$$
   • Vektor Basis (Kombinasi Linear): Menggunakan vektor satuan pada sumbu koordinat ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$).$$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$(Di mana $\vec{i}=(1, 0, 0)$, $\vec{j}=(0, 1, 0)$, $\vec{k}=(0, 0, 1)$.)

C. Besar Vektor (Magnitude)

Besar (atau panjang/norma) dari suatu vektor dinotasikan dengan $||\vec{a}||$ atau $|\vec{a}|$. Dihitung menggunakan Teorema Pythagoras yang diperluas.

• Vektor di $\text{R}^2$ (Dua Dimensi): $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
• Vektor di $\text{R}^3$ (Tiga Dimensi): $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

---

Operasi Dasar Vektor ➕

Asumsi: Diberikan vektor $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ dan $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$.

A. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Operasi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang seletak.

1. Secara Aljabar:$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$$$$\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2, a_3 – a_3)$$
2. Secara Geometris:
   • Metode Segitiga: Pindahkan titik pangkal vektor kedua ke titik ujung vektor pertama. Vektor hasil (resultan) adalah ruas garis dari titik pangkal vektor pertama ke titik ujung vektor kedua.
   • Metode Jajar Genjang: Tempatkan titik pangkal kedua vektor di satu titik. Vektor hasil adalah diagonal jajar genjang yang terbentuk.

B. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika $k$ adalah skalar (bilangan riil), maka perkalian $k\vec{a}$ akan:

1. Mengubah Besar: Besarnya menjadi $|k| \cdot |\vec{a}|$.
2. Mengubah Arah (jika $k$ negatif):
   • Jika $k > 0$, arah vektor tetap sama.
   • Jika $k < 0$, arah vektor menjadi berlawanan.

Secara Aljabar: Kalikan setiap komponen vektor dengan skalar $k$.

$$k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$$

---

Hasil Kali Vektor (Vektor-Vektor) ✖️

Ada dua jenis perkalian antar vektor, masing-masing dengan makna dan hasil yang berbeda.

A. Hasil Kali Titik (Dot Product / Perkalian Skalar)

Perkalian ini menghasilkan skalar (nilai tunggal). Dilambangkan dengan tanda titik ($\cdot$).

1. Rumus Komponen:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

2. Rumus Geometris:

Hasil kali titik juga dapat dihitung berdasarkan panjang vektor dan sudut yang dibentuk:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$

(Di mana $\theta$ adalah sudut di antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$).

3. Aplikasi Kunci: Sudut dan Proyeksi

• Mencari Sudut $\theta$:$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$
• Hubungan Tegak Lurus: Jika dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ tegak lurus (ortogonal), maka sudut $\theta = 90^\circ$, sehingga $\cos \theta = 0$. Akibatnya, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

B. Hasil Kali Silang (Cross Product / Perkalian Vektor)

Perkalian ini hanya didefinisikan untuk vektor di $\text{R}^3$ dan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor asal. Dilambangkan dengan tanda silang ($\times$).

1. Rumus Komponen (Menggunakan Determinan):

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Hasilnya adalah vektor:

$$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2)\vec{i} – (a_1b_3 – a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 – a_2b_1)\vec{k}$$

2. Rumus Geometris:

Besar vektor hasilnya adalah:

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$$

Nilai $|\vec{a} \times \vec{b}|$ juga merepresentasikan luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.

3. Aplikasi Kunci: Aturan Tangan Kanan

Arah vektor $\vec{a} \times \vec{b}$ ditentukan oleh Aturan Tangan Kanan. Jika jari-jari ditekuk dari $\vec{a}$ ke $\vec{b}$, ibu jari akan menunjuk ke arah $\vec{a} \times \vec{b}$ (vektor yang tegak lurus). Perkalian silang tidak komutatif: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$.