Teori Hamilton-Jacobi adalah formulasi paling canggih dalam Mekanika Klasik. Tujuan utamanya adalah menemukan suatu transformasi kanonik (perubahan koordinat) yang mengubah Hamiltonian sistem menjadi nol atau nol secara efektif, sehingga semua koordinat dan momentum baru menjadi besaran kekal (konstan).

A. Transformasi Kanonik

• Tujuan: Untuk menemukan himpunan koordinat umum dan momentum umum baru ($Q_i, P_i$) yang kekal (konstan terhadap waktu). Jika $P_i$ dan $Q_i$ konstan, maka persamaan Hamilton menjadi trivial: $\dot{P}_i = 0$ dan $\dot{Q}_i = 0$.
• Fungsi Pembangkit ($S$): Transformasi dari set lama $(q_i, p_i)$ ke set baru $(Q_i, P_i)$ ditentukan oleh Fungsi Pembangkit $S$. Dalam Teori HJ, fungsi pembangkit dipilih sebagai $S(q_i, P_i, t)$, yang disebut Fungsi Utama Hamilton (Hamilton’s Principal Function).

B. Persamaan Hamilton-Jacobi (HJE)

Dengan memilih Fungsi Pembangkit $S$ sebagai solusi dari persamaan diferensial parsial tertentu, kita dapat menjamin bahwa Hamiltonian baru $K$ adalah nol ($K=0$). Persamaan diferensial parsial ini adalah Persamaan Hamilton-Jacobi (HJE):

$$\frac{\partial S}{\partial t} + H \left( q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}, t \right) = 0$$

• Keterangan Spesifik:
  1. $S$ adalah Fungsi Utama Hamilton.
  2. $\partial S / \partial t$ adalah laju perubahan Aksi seiring waktu.
  3. $H$ adalah Hamiltonian lama, tetapi momentum lama ($p_i$) digantikan oleh derivatif parsial dari $S$: $p_i = \partial S / \partial q_i$.

C. Solusi dan Signifikansi

1. Solusi Total: Solusi total HJE adalah $S$ yang mengandung $N$ konstanta integrasi independen, yang kita identifikasi sebagai momentum baru yang kekal, $P_i$.
2. Menemukan Gerak: Setelah $S$ ditemukan, koordinat baru yang kekal ($Q_i$) diperoleh dari:$$Q_i = \frac{\partial S}{\partial P_i}$$Dengan demikian, seluruh evolusi waktu sistem ditentukan hanya dari satu solusi persamaan diferensial parsial $S(q_i, P_i, t)$, tanpa perlu memecahkan $2N$ persamaan Hamilton orde pertama yang terpisah.
3. Jembatan Kuantum Akhir: HJE dianggap sebagai jembatan paling langsung ke Mekanika Kuantum. Dengan mengganti Fungsi Utama Hamilton $S$ dengan logaritma dari fungsi gelombang kuantum $\Psi$ (yakni, $\Psi \propto e^{i S / \hbar}$), Persamaan Hamilton-Jacobi menjadi Persamaan Schrödinger (setelah batas $\hbar \to 0$ diperkenalkan).

HJT adalah metode untuk menyelesaikan masalah dinamika klasik dengan mencari Fungsi Pembangkit yang mengubah persamaan gerak menjadi trivial.

D. Fungsi Utama Hamilton ($S$)

Fungsi Utama Hamilton, $S(q_i, P_i, t)$, yang merupakan solusi dari HJE, memiliki makna fisik dan matematis yang mendalam:

1. Makna Matematis (Fungsi Pembangkit Jenis Kedua): $S$ adalah fungsi pembangkit untuk Transformasi Kanonik dari himpunan koordinat lama $(q_i, p_i)$ ke himpunan koordinat baru $(Q_i, P_i)$. Transformasi ini dirancang agar Hamiltonian baru ($K$) menjadi nol. Hubungan transformasi didefinisikan oleh $S$:$$\begin{align*} p_i &= \frac{\partial S}{\partial q_i} \\ Q_i &= \frac{\partial S}{\partial P_i} \end{align*}$$Karena Hamiltonian baru $K=0$, persamaan Hamilton yang baru menjadi: $\dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0$ dan $\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = 0$. Ini berarti semua momentum baru ($P_i$) dan koordinat baru ($Q_i$) adalah konstan (besaran kekal).
2. Makna Fisik (Aksi): Fungsi $S$ terhubung langsung dengan Aksi ($\mathcal{S}$) yang diperkenalkan dalam Prinsip Hamilton. Secara spesifik:$$S(q_i, P_i, t) = \mathcal{S}_{\text{min}}$$$S$ adalah Aksi yang dihitung sepanjang lintasan nyata dari suatu titik awal ke titik akhir $(q_i)$ sebagai fungsi waktu $t$. $S$ juga sering disebut integral waktu dari Lagrangian, $S = \int L dt$.
3. Menemukan Gerak: Setelah $S$ ditemukan (termasuk konstanta integrasi $P_i$), kita cukup menggunakan turunan parsial $Q_i = \partial S / \partial P_i$. Karena $Q_i$ juga konstan, persamaan ini secara efektif adalah $N$ persamaan aljabar (atau persamaan implisit) yang dapat dipecahkan untuk mendapatkan $q_i(t)$ (gerak sistem) sebagai fungsi dari $t$.

E. Pemisahan Variabel dan Fungsi Karakteristik Hamilton ($W$)

Untuk sistem konservatif, di mana Hamiltonian $H$ tidak bergantung secara eksplisit pada waktu ($\partial H / \partial t = 0$), HJE dapat disederhanakan melalui pemisahan variabel.

1. Pemisahan Variabel Waktu: Solusi $S$ dapat dipisahkan menjadi bagian yang bergantung pada waktu dan bagian yang bergantung pada ruang:$$S(q_i, P_i, t) = W(q_i, P_i) – E t$$Di mana $E$ adalah energi total sistem (yang merupakan konstanta kekal, dan kita mengidentifikasinya dengan salah satu momentum baru $P_i$).
2. Fungsi Karakteristik Hamilton ($W$): Bagian yang tersisa, $W(q_i, P_i)$, disebut Fungsi Karakteristik Hamilton. Substitusi bentuk $S$ ini ke dalam HJE menghasilkan Persamaan HJE yang Terdiferensiasi Waktu:$$H \left( q_i, \frac{\partial W}{\partial q_i} \right) = E$$Persamaan ini lebih mudah dipecahkan karena merupakan persamaan diferensial parsial yang hanya bergantung pada koordinat ruang ($q_i$). Momentum baru $P_i$ (selain $E$) adalah konstanta integrasi dari $W$.
3. Pemisahan Variabel Spasial: Untuk banyak sistem, $W$ dapat dipisahkan lebih lanjut (misalnya, untuk koordinat Kartesian $q_i = x, y, z$):$$W = W_x(x, P_x) + W_y(y, P_y) + W_z(z, P_z)$$Jika pemisahan total dimungkinkan, solusi HJE menjadi serangkaian integral biasa yang sederhana, yang merupakan metode paling kuat untuk menemukan solusi analitis yang lengkap.

F. Analogi Optik dan Mekanika (Prinsip Fermat) 🔭

Salah satu wawasan filosofis terbesar dari HJT adalah bahwa ia menghubungkan kembali mekanika dengan optik geometris melalui Prinsip Fermat.

1. Prinsip Fermat (Optik): Cahaya, saat bergerak antara dua titik, selalu mengambil lintasan yang membutuhkan waktu tempuh minimum.
2. Prinsip Aksi Hamilton (Mekanika): Sistem klasik mengambil lintasan yang membuat Aksi ($\mathcal{S}$) stasioner.
3. Keterkaitan: HJT menunjukkan bahwa permukaan gelombang energi konstan dalam mekanika (didefinisikan oleh $W(q_i) = \text{konstan}$) bergerak tegak lurus terhadap lintasan partikel, analog dengan gelombang cahaya yang bergerak tegak lurus terhadap sinar (ray). Dalam batas pendek gelombang ($\lambda \to 0$ atau $\hbar \to 0$), mekanika kuantum mereduksi menjadi mekanika klasik, sama seperti optik gelombang mereduksi menjadi optik geometris (Fermat) dalam batas panjang gelombang nol.
4. Signifikansi: Keterkaitan ini menggarisbawahi bahwa HJT bukan sekadar metode matematika, melainkan manifestasi dari prinsip universal bahwa evolusi alami selalu mengikuti jalur “ekstrem” dari suatu kuantitas (waktu, aksi).