Pengantar Aljabar Lanjut

1. Konsep Dasar Matriks 🖼️

A. Definisi dan Elemen

Matriks adalah susunan bilangan (disebut elemen atau entri) yang diatur dalam bentuk persegi panjang berdasarkan baris (horizontal) dan kolom (vertikal) serta diletakkan di antara tanda kurung siku $[\text{ }]$ atau kurung biasa $(\text{ })$.

Notasi Elemen: Elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil berindeks, $a_{ij}$, di mana $i$ menunjukkan nomor baris dan $j$ menunjukkan nomor kolom.Contoh: $a_{23}$ adalah elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-3.

B. Ordo (Ukuran) Matriks

Ordo menyatakan ukuran matriks, ditulis sebagai $m \times n$, di mana $m$ adalah jumlah baris dan $n$ adalah jumlah kolom.

$$\text{Matriks } A_{3 \times 2} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$

C. Jenis-jenis Matriks Kunci

Matriks Persegi: Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama ($m = n$).
Matriks Identitas ($I$): Matriks persegi yang semua elemen di diagonal utamanya adalah 1, dan elemen lainnya 0.$$I_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Matriks Nol ($O$): Matriks yang semua elemennya adalah nol.
Matriks Transpose ($A^T$): Matriks baru yang diperoleh dengan menukar posisi baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris. Jika $A$ berordo $m \times n$, maka $A^T$ berordo $n \times m$.Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$, maka $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$.

2. Operasi Matriks ➕✖️

A. Penjumlahan dan Pengurangan

Syarat: Hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama.
Cara Operasi: Penjumlahan atau pengurangan dilakukan dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak (pada posisi $a_{ij}$ yang sama).

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$

B. Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian skalar $k$ dengan matriks $A$ ($kA$) dilakukan dengan mengalikan bilangan skalar $k$ tersebut ke setiap elemen dalam matriks $A$.

$$3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}$$

C. Perkalian Dua Matriks

Syarat Kritis: Matriks $A$ dapat dikalikan dengan matriks $B$ ($A \cdot B$) jika dan hanya jika jumlah kolom matriks $A$ sama dengan jumlah baris matriks $B$.$$\text{Jika } A_{m \times \mathbf{n}} \cdot B_{\mathbf{n} \times p} \text{ maka hasilnya adalah } C_{m \times p}.$$
Cara Operasi: Elemen $c_{ij}$ pada matriks hasil ($C$) diperoleh dari penjumlahan hasil perkalian elemen-elemen pada baris ke-$i$ matriks $A$ dengan elemen-elemen pada kolom ke-$j$ matriks $B$.

$$\text{Jika } A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ dan } B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$$

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} (1 \cdot 5) + (2 \cdot 6) \\ (3 \cdot 5) + (4 \cdot 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 12 \\ 15 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$$

Sifat Penting: Perkalian matriks TIDAK komutatif, artinya $A \cdot B \neq B \cdot A$ (kecuali pada kasus-kasus tertentu).

3. Determinan dan Invers Matriks (Matriks Persegi) 🔑

A. Determinan

Determinan ($\text{det}(A)$ atau $|A|$) hanya didefinisikan untuk matriks persegi.

1. Ordo $2 \times 2$

Jika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah:

$$\text{det}(A) = ad – bc$$

2. Ordo $3 \times 3$

Dapat dihitung menggunakan Metode Sarrus (menambahkan dua kolom pertama di samping kanan) atau Ekspansi Kofaktor (lebih universal untuk ordo yang lebih tinggi).

B. Invers Matriks

Invers matriks $A^{-1}$ adalah matriks yang memenuhi hubungan $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ (Matriks Identitas).

Syarat Invers: Matriks $A$ harus non-singular, yaitu $\text{det}(A) \neq 0$.

1. Invers Ordo $2 \times 2$

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Adj}(A)$$

Di mana $\text{Adj}(A)$ (Adjoin matriks $A$) adalah matriks yang diperoleh dengan:

Menukar posisi $a$ dan $d$.
Mengganti tanda $b$ dan $c$.$$\text{Jika } A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \text{, maka } A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

2. Invers Ordo $3 \times 3$

Menggunakan rumus: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Adj}(A)$, di mana $\text{Adj}(A)$ didapat dari transpose matriks kofaktor. Proses ini jauh lebih panjang dan biasanya dipermudah dengan Eliminasi Gauss-Jordan.

4. Aplikasi: Menyelesaikan SPL dengan Matriks

Matriks digunakan untuk merepresentasikan dan menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL), misalnya SPLDV:

$$\begin{aligned} ax + by &= p \\ cx + dy &= q \end{aligned}$$

Dapat diubah menjadi bentuk matriks:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$$

$$A \cdot X = B$$

Solusi $X$ (nilai $x$ dan $y$) dapat dicari dengan:

Metode Invers:$$X = A^{-1} \cdot B$$
Aturan Cramer: Menggunakan perbandingan determinan matriks koefisien ($A$) dengan matriks koefisien yang salah satu kolomnya diganti dengan matriks hasil ($B$).
Eliminasi Gauss-Jordan: Mengubah matriks gabungan $[A | B]$ menjadi $[I | X]$ melalui operasi baris elementer. Metode ini adalah dasar dari Aljabar Linear modern.