Masalah dua benda mengkaji gerak dua massa ($m_1$ dan $m_2$) yang berinteraksi hanya melalui gaya yang bergantung pada jarak antara keduanya. Secara umum, gaya ini adalah Gaya Gravitasi Universal Newton, di mana $F \propto 1/r^2$.

A. Persamaan Gerak Awal

Sistem awal memiliki enam derajat kebebasan (tiga koordinat untuk setiap massa, $\mathbf{r}_1$ dan $\mathbf{r}_2$). Persamaan gerak (Hukum II Newton) untuk masing-masing massa adalah:

1. Untuk $m_1$:$$m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F}_{12}$$(Gaya dari $m_2$ pada $m_1$)
2. Untuk $m_2$:$$m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{F}_{21}$$(Gaya dari $m_1$ pada $m_2$)

Menurut Hukum Ketiga Newton, $\mathbf{F}_{12} = – \mathbf{F}_{21}$.

B. Reduksi ke Masalah Satu Benda (Massa Tereduksi)

Strategi kunci untuk memecahkan masalah ini adalah memisahkannya menjadi dua gerakan independen yang lebih sederhana:

1. Gerak Pusat Massa (Center of Mass, CM)

• Koordinat CM: $\mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{M}$, di mana $M = m_1 + m_2$.
• Persamaan Gerak CM: Jika kita menjumlahkan kedua persamaan gerak awal: $m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0$.$$M \ddot{\mathbf{R}} = 0$$
• Kesimpulan: Percepatan Pusat Massa adalah nol ($\ddot{\mathbf{R}} = 0$). Oleh karena itu, Pusat Massa bergerak dengan kecepatan konstan ($\dot{\mathbf{R}} = \text{konstan}$), sesuai dengan Hukum Kekekalan Momentum Linier. Gerakan ini dapat diabaikan atau dijadikan kerangka acuan inersial.

2. Gerak Relatif

• Koordinat Relatif: $\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 – \mathbf{r}_2$.
• Massa Tereduksi ($\mu$): Dengan mengurangkan persamaan gerak kedua dari yang pertama (setelah dibagi dengan massanya masing-masing) dan menggunakan $\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{r}}_1 – \ddot{\mathbf{r}}_2$, kita mendapatkan persamaan tunggal untuk gerak relatif:$$\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}$$Di mana $\mu$ adalah massa tereduksi:$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$
• Signifikansi: Masalah dua benda telah direduksi menjadi masalah ekuivalen satu benda, yaitu partikel fiktif dengan massa $\mu$ yang bergerak mengelilingi titik tetap (asal) di bawah pengaruh gaya $\mathbf{F}_{12}$ (yang hanya bergantung pada $\mathbf{r}$).

C. Hukum Kekekalan Khusus untuk Gaya Pusat

Karena gaya yang bekerja ($\mathbf{F}_{12}$) adalah gaya pusat ($\mathbf{F}$ sejajar dengan $\mathbf{r}$), dua hukum kekekalan penting berlaku:

1. Kekekalan Momentum Sudut ($\mathbf{L}$)

• Definisi: $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times (\mu \dot{\mathbf{r}})$.
• Pembuktian: Torsi ($\boldsymbol{\tau}$) adalah $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$. Karena $\mathbf{F}$ sejajar dengan $\mathbf{r}$ (gaya pusat), produk silangnya adalah nol: $\boldsymbol{\tau} = 0$.
• Konsekuensi: Karena $\boldsymbol{\tau} = d\mathbf{L}/dt$, maka $\mathbf{L}$ adalah vektor konstan. Gerak partikel tereduksi ($\mu$) terjadi sepenuhnya pada bidang tetap yang tegak lurus terhadap vektor $\mathbf{L}$.

2. Kekekalan Energi Mekanik ($E$)

• Definisi: Energi mekanik total adalah jumlah energi kinetik dan potensial.$$E = KE_{\text{relatif}} + PE(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} + U(\mathbf{r})$$(Untuk gravitasi, $U(\mathbf{r}) = – G m_1 m_2 / r$).
• Pembuktian: Karena gaya gravitasi adalah konservatif, energi total sistem kekal.

D. Solusi Orbit (Persamaan Lintasan)

Menggunakan koordinat polar ($r, \theta$) dalam bidang gerak, persamaan gerak dapat diintegrasikan. Solusi untuk Masalah Dua Benda dengan gaya kuadrat invers ($\propto 1/r^2$) menghasilkan lintasan yang selalu berupa potongan kerucut (conic section).

• Persamaan Umum Lintasan:$$r(\theta) = \frac{c}{1 + \epsilon \cos \theta}$$(Keterangan: $c$ adalah parameter semi-latus rectum, dan $\epsilon$ adalah eksentrisitas).
• Klasifikasi Orbit berdasarkan Eksentrisitas ($\epsilon$):
  • $\epsilon = 0$: Lingkaran (Orbit tertutup dan stabil).
  • $0 < \epsilon < 1$: Elips (Orbit tertutup, $E < 0$).
  • $\epsilon = 1$: Parabola (Orbit terbuka, $E = 0$).
  • $\epsilon > 1$: Hiperbola (Orbit terbuka, $E > 0$).

E. Vektor Laplace-Runge-Lenz (Tambahan Kekekalan)

Untuk Masalah Dua Benda dengan gaya $\propto 1/r^2$ (seperti gravitasi atau Coulomb), ada vektor kekal ketiga yang tidak trivial, disebut Vektor Laplace-Runge-Lenz ($\mathbf{A}$).

• Fungsi: Vektor $\mathbf{A}$ terletak pada bidang orbit dan menunjuk dari pusat gaya ke periapsis (titik terdekat).
• Signifikansi: Kekekalan $\mathbf{A}$ secara langsung membuktikan bahwa orbit yang dihasilkan adalah tertutup (yaitu, elips atau lingkaran) dan tetap orientasinya di ruang angkasa (tidak berotasi). Keberadaan tiga vektor kekal independen ($\mathbf{L}$, $\mathbf{A}$, dan $E$) adalah alasan mengapa masalah dua benda dapat diselesaikan secara analitis.