FK adalah puncak dari kalkulus dasar karena secara formal menghubungkan Turunan (perubahan sesaat) dan Integral (akumulasi).

Teorema Fundamental Kalkulus (TFK)

Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) adalah konsep yang menjelaskan mengapa mencari anti-turunan (Integral Tak Tentu) adalah cara yang efektif untuk menghitung Luas (Integral Tentu).

TFK terdiri dari dua bagian utama:

1. TFK Bagian Pertama (TFK I)

TFK Bagian Pertama menunjukkan bahwa turunan dari suatu fungsi integral akan menghasilkan fungsi asal kembali. Ini menegaskan bahwa diferensiasi (turunan) dan integrasi (integral) adalah proses yang saling invers (berkebalikan).

Misalnya, kita mendefinisikan suatu fungsi $F(x)$ sebagai integral tentu dari suatu fungsi $f(t)$ dari suatu konstanta $a$ hingga $x$:

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$$

TFK I menyatakan bahwa turunan dari $F(x)$ terhadap $x$ adalah fungsi integrannya sendiri, $f(x)$:

$$\frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = f(x)$$

Intinya: Proses menghitung akumulasi (integral) dan kemudian laju perubahan dari akumulasi tersebut (turunan) akan mengembalikan Anda ke titik awal.

---

2. TFK Bagian Kedua (TFK II)

TFK Bagian Kedua (sering digunakan dalam perhitungan praktis) memberikan metode yang tepat untuk menghitung integral tentu tanpa perlu menggunakan limit penjumlahan Riemann yang rumit.

TFK II menyatakan bahwa jika $f(x)$ adalah kontinu pada interval $[a, b]$ dan $F(x)$ adalah anti-turunan dari $f(x)$, maka integral tentu dari $f(x)$ dari $a$ ke $b$ adalah:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

Di mana $F(b) – F(a)$ dibaca sebagai evaluasi anti-turunan pada batas atas ($b$) dikurangi evaluasi anti-turunan pada batas bawah ($a$).

Intinya: Untuk menemukan luas di bawah kurva ($f(x)$) dari $a$ ke $b$, Anda cukup mencari fungsi anti-turunan ($F(x)$) dan menghitung perbedaan nilainya pada titik akhir dan titik awal.

Contoh Penerapan TFK II

Misalnya, kita ingin menghitung luas di bawah kurva $f(x) = x^2$ dari $x=1$ hingga $x=3$:

1. Cari Anti-turunan ($F(x)$):Anti-turunan dari $f(x) = x^2$ adalah $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ (menggunakan Aturan Pangkat Integral).
2. Hitung $F(b) – F(a)$:$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = F(3) – F(1)$$$$F(3) = \frac{1}{3}(3)^3 = \frac{1}{3}(27) = 9$$$$F(1) = \frac{1}{3}(1)^3 = \frac{1}{3}(1) = \frac{1}{3}$$
3. Hasil Akhir:$$9 – \frac{1}{3} = 8 \frac{2}{3}$$Jadi, luas di bawah kurva $x^2$ dari 1 hingga 3 adalah $8 \frac{2}{3}$ satuan luas.