Vektor

1. Konsep Dasar Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (magnitude) dan arah secara bersamaan. Vektor berbeda dengan skalar, yang hanya memiliki nilai (misalnya, suhu, massa, atau waktu).

Representasi

Secara geometris, vektor direpresentasikan sebagai ruas garis berarah yang dimulai dari titik awal (ekor) dan berakhir di titik akhir (kepala atau ujung panah).

Notasi: Vektor biasanya dinotasikan dengan huruf kecil bercetak tebal ($\mathbf{a}$), huruf kecil dengan tanda panah di atas ($\vec{a}$), atau huruf kapital yang menunjukkan titik awal dan akhir ($\vec{AB}$).
Panjang (Magnitude): Panjang vektor $\vec{a}$ dinotasikan sebagai $|\vec{a}|$ atau $|| \vec{a} ||$.

Komponen Vektor

Vektor dalam sistem koordinat diuraikan menjadi komponen-komponen.

Vektor 2D: $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ atau $\vec{a} = (x, y)$
Vektor 3D: $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ atau $\vec{a} = (x, y, z)$

Panjang Vektor (Magnitude): Diperoleh menggunakan Teorema Pythagoras.

Untuk $\vec{a} = (x, y)$, panjangnya adalah $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Untuk $\vec{a} = (x, y, z)$, panjangnya adalah $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

2. Operasi Dasar Vektor

a. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dilakukan secara geometris dan analitis.

Secara Geometris: Menggunakan metode segitiga (ekor ke kepala) atau metode jajar genjang (ekor ke ekor).
Secara Analitis: Menjumlahkan komponen yang bersesuaian.Jika $\vec{a} = (x_1, y_1)$ dan $\vec{b} = (x_2, y_2)$, maka $\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)$.

b. Pengurangan Vektor

Pengurangan $\vec{a} – \vec{b}$ sama dengan menjumlahkan $\vec{a}$ dengan vektor negatif dari $\vec{b}$ ($\vec{a} + (-\vec{b})$). Vektor $-\vec{b}$ memiliki panjang yang sama dengan $\vec{b}$ tetapi arahnya berlawanan.

c. Perkalian Skalar

Perkalian vektor $\vec{a}$ dengan skalar $k$ menghasilkan vektor baru $k\vec{a}$.

Arah: Sama dengan $\vec{a}$ jika $k > 0$, dan berlawanan jika $k < 0$.
Panjang: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Secara Analitis: $k\vec{a} = (kx, ky)$.

3. Perkalian Vektor (Produk)

Ada dua jenis perkalian penting antara dua vektor yang menghasilkan hasil yang berbeda.

a. Perkalian Titik (Dot Product / Skalar Product)

Perkalian titik antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan skalar (angka).

Rumus Geometris: Melibatkan sudut ($\theta$) antara kedua vektor:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$
Rumus Analitis (Komponen):Untuk 3D: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$
Kegunaan Utama:
1. Mencari sudut $\theta$ antara dua vektor: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
2. Menguji ketegaklurusan (Ortogonalitas): Jika $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, maka $\vec{a}$ tegak lurus terhadap $\vec{b}$ ($\theta = 90^\circ$).
3. Menghitung usaha dalam Fisika ($W = \vec{F} \cdot \vec{s}$).

b. Perkalian Silang (Cross Product / Vektor Product)

Perkalian silang antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ hanya didefinisikan di ruang 3D dan menghasilkan vektor baru $\vec{c}$.

Arah: Vektor $\vec{c}$ tegak lurus (ortogonal) terhadap bidang yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, mengikuti aturan tangan kanan.
Panjang: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$. Panjang ini sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
Rumus Analitis (Matriks): Dihitung menggunakan determinan matriks 3×3:$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$
Kegunaan Utama:
1. Mencari vektor normal (vektor yang tegak lurus terhadap bidang).
2. Menghitung luas jajar genjang atau segitiga dalam ruang 3D.
3. Menghitung momen gaya atau torque dalam Fisika ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$).

4. Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor adalah dekomposisi vektor $\vec{a}$ menjadi dua komponen: satu komponen sejajar dengan vektor $\vec{b}$ dan satu komponen tegak lurus terhadap $\vec{b}$.

a. Proyeksi Skalar Ortogonal

Menghasilkan panjang bayangan vektor $\vec{a}$ pada arah vektor $\vec{b}$.

Rumus:$$|\vec{c}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

b. Proyeksi Vektor Ortogonal

Menghasilkan vektor bayangan $\vec{c}$ (memiliki panjang dan arah) yang sejajar dengan $\vec{b}$.

Rumus:$$\vec{c} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$$

Vektor adalah alat fundamental dalam Geometri Analitik dan Geometri Tiga Dimensi karena memungkinkan representasi posisi dan pergerakan secara matematis yang sangat efisien.