Fungsi Kuadrat dan Persamaan Kuadrat.

Pemfaktoran (Faktorisasi) 🧩

Pemfaktoran adalah proses kebalikan dari perkalian. Ini adalah cara menuliskan suatu ekspresi aljabar sebagai hasil kali dari faktor-faktornya. Ini adalah keterampilan kunci untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

A. Mengeluarkan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Ini adalah bentuk faktorisasi yang paling dasar, di mana kita mencari faktor (baik bilangan maupun variabel) yang dimiliki oleh semua suku.

Contoh: Faktorkan $6x^2 – 9x$.

FPB dari koefisien (6 dan 9) adalah 3.
FPB dari variabel ($x^2$ dan $x$) adalah $x$.
FPB keseluruhan adalah $3x$.$$6x^2 – 9x = 3x (2x – 3)$$

B. Selisih Dua Kuadrat

Bentuk ini hanya berlaku untuk ekspresi binomial (dua suku) yang masing-masing merupakan kuadrat sempurna dan dipisahkan oleh tanda kurang.

Rumus:

$$a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$$

Contoh: Faktorkan $25x^2 – 4$.

$25x^2$ adalah kuadrat dari $5x$.
$4$ adalah kuadrat dari $2$.$$25x^2 – 4 = (5x – 2)(5x + 2)$$

C. Faktorisasi Persamaan Kuadrat $x^2 + bx + c = 0$

Untuk bentuk di mana koefisien $a=1$, kita mencari dua bilangan ($p$ dan $q$) yang jika dijumlahkan hasilnya $b$, dan jika dikalikan hasilnya $c$.

Bentuk Faktor: $(x + p)(x + q) = 0$

Contoh: Faktorkan $x^2 + 7x + 10 = 0$.

$b = 7$, $c = 10$.
Cari $p$ dan $q$ sedemikian hingga $p+q=7$ dan $p \cdot q = 10$.
Bilangan tersebut adalah 2 dan 5.$$(x + 2)(x + 5) = 0$$

D. Faktorisasi Persamaan Kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 1$)

Metode ini sedikit lebih rumit, sering menggunakan teknik “pecah suku tengah”.

Langkah Detail (Contoh: $2x^2 + 5x – 3 = 0$):

Cari $p$ dan $q$: Kalikan $a \cdot c$ ($2 \cdot -3 = -6$). Cari $p$ dan $q$ sedemikian hingga $p \cdot q = -6$ dan $p + q = b = 5$.
Bilangan tersebut adalah $6$ dan $-1$ ($6 \cdot (-1) = -6$ dan $6 + (-1) = 5$).
Pecah Suku Tengah: Ganti $5x$ dengan $6x – 1x$.$$2x^2 + 6x – x – 3 = 0$$
Faktorkan dengan Pengelompokan: Faktorkan per kelompok dua suku.$$(2x^2 + 6x) + (-x – 3) = 0$$$$2x(x + 3) – 1(x + 3) = 0$$
Ambil Faktor yang Sama: $(x+3)$ adalah faktor persekutuan.$$(x + 3)(2x – 1) = 0$$

Persamaan Kuadrat (Mencari Akar-akar) ⚙️

Persamaan kuadrat adalah ekspresi kuadrat yang disetarakan dengan nol ($ax^2 + bx + c = 0$). Akar-akar atau solusi adalah nilai $x$ yang membuat persamaan ini benar.

A. Metode Pemfaktoran

Setelah difaktorkan, gunakan Sifat Nol (Zero Product Property): Jika $A \cdot B = 0$, maka $A=0$ atau $B=0$.

Contoh (lanjutan dari 4.1.D): $(x + 3)(2x – 1) = 0$.

Kasus 1: $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
Kasus 2: $2x – 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

B. Metode Melengkapi Kuadrat Sempurna

Metode ini mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk $(x + p)^2 = q$, sehingga $x$ dapat diisolasi dengan mudah. Metode ini jarang digunakan untuk penyelesaian praktis, namun penting untuk menurunkan Rumus ABC.

Langkah Kunci: Tambahkan $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ke kedua ruas.

C. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Ini adalah metode universal yang harus digunakan ketika pemfaktoran sulit atau tidak mungkin dilakukan.

Rumus:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Contoh: Cari akar-akar dari $x^2 – 4x + 1 = 0$.

$a=1, b=-4, c=1$.
Substitusikan ke rumus:$$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}$$$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{2}$$$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$$$$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 2 – \sqrt{3}$$

Diskriminan ($D$) dan Sifat Akar 🧮

Diskriminan adalah bagian di dalam akar Rumus ABC, $D = b^2 – 4ac$. Karena tidak mungkin mengakar bilangan negatif (dalam sistem bilangan riil), nilai $D$ menentukan jenis akar:

Nilai Diskriminan (D)	Sifat Akar	Grafik Fungsi Kuadrat (y=ax2+bx+c)
$\mathbf{D > 0}$	Dua akar riil dan berbeda.	Memotong sumbu-$x$ di dua titik berbeda.
$\mathbf{D = 0}$	Dua akar riil dan kembar (sama).	Menyinggung sumbu-$x$ di satu titik.
$\mathbf{D < 0}$	Tidak memiliki akar riil (akar imajiner/kompleks).	Tidak memotong sumbu-$x$ sama sekali.

4.4 Fungsi Kuadrat dan Grafiknya 📈

Fungsi kuadrat memiliki bentuk $f(x) = y = ax^2 + bx + c$. Grafiknya disebut parabola.

A. Arah Bukaan Parabola (Nilai $a$)

Jika $a > 0$ (positif), parabola terbuka ke atas (memiliki titik balik minimum).
Jika $a < 0$ (negatif), parabola terbuka ke bawah (memiliki titik balik maksimum).

B. Menentukan Titik Puncak (Titik Balik)

Titik puncak adalah titik tertinggi (maksimum) atau terendah (minimum) dari parabola.

Sumbu Simetri ($x_p$): Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris.$$x_p = -\frac{b}{2a}$$
Nilai Optimal ($y_p$): Nilai $y$ pada titik puncak.$$y_p = -\frac{D}{4a} \quad \text{atau substitusi } x_p \text{ ke dalam } f(x)$$
Titik Puncak: $(x_p, y_p)$

C. Titik Potong Sumbu

Titik Potong Sumbu-y: Terjadi saat $x = 0$. Substitusikan $x=0$ ke $f(x)$ untuk mendapatkan $(0, c)$.
Titik Potong Sumbu-x: Terjadi saat $y = 0$. Ini sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$. Titik-titiknya adalah $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$.

Pendidikan Indonesia