Turunan mengukur laju perubahan sesaat dari sebuah fungsi. Jika integral menghitung luas total dari perubahan kecil, turunan menghitung seberapa cepat perubahan itu terjadi pada suatu titik.
1. Konsep Intuitif: Kemiringan Garis Singgung
Secara geometris, turunan dari suatu fungsi $f(x)$ pada titik tertentu adalah kemiringan (gradien) garis singgung pada kurva fungsi tersebut di titik itu.
- Laju Rata-rata vs. Laju Sesaat:
- Laju perubahan rata-rata antara dua titik dihitung dengan kemiringan garis sekan.
- Turunan adalah limit dari kemiringan garis sekan saat jarak antara dua titik tersebut mendekati nol, sehingga menghasilkan kemiringan garis singgung (laju perubahan sesaat).
2. Definisi Matematis
Turunan dari $f(x)$, dinotasikan sebagai $f'(x)$ atau $\frac{dy}{dx}$, didefinisikan menggunakan limit:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$
Ini adalah definisi formal dari laju perubahan sesaat.
3. Aturan Dasar Turunan
Dalam praktiknya, kita jarang menggunakan definisi limit. Kita menggunakan aturan turunan, seperti:
- Aturan Pangkat (Power Rule): Jika $f(x) = x^n$, maka turunannya adalah $f'(x) = nx^{n-1}$.
- Contoh: Jika $f(x) = x^4$, maka $f'(x) = 4x^3$.
- Aturan Konstanta: Turunan dari konstanta ($c$) adalah nol.
- Contoh: Jika $f(x) = 10$, maka $f'(x) = 0$.
- Aturan Perkalian Konstanta: Jika $f(x) = c \cdot g(x)$, maka $f'(x) = c \cdot g'(x)$.
Selain itu, ada aturan untuk penjumlahan/pengurangan, perkalian (Aturan Produk), pembagian (Aturan Kuosien), dan fungsi komposit (Aturan Rantai).
4. Aplikasi Utama Turunan
Turunan sangat penting untuk menganalisis perilaku fungsi:
- Optimasi: Menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi (misalnya, mencari biaya produksi terendah atau keuntungan tertinggi). Ini dilakukan dengan mencari titik di mana $f'(x) = 0$.
- Kecepatan dan Percepatan: Jika posisi adalah $s(t)$, maka kecepatan adalah $v(t) = s'(t)$, dan percepatan adalah $a(t) = v'(t)$.
- Analisis Fungsi: Menentukan interval di mana fungsi tersebut naik ($f'(x) > 0$) atau turun ($f'(x) < 0$).