Turunan mengukur laju perubahan sesaat dari sebuah fungsi. Jika integral menghitung luas total dari perubahan kecil, turunan menghitung seberapa cepat perubahan itu terjadi pada suatu titik.

1. Konsep Intuitif: Kemiringan Garis Singgung

Secara geometris, turunan dari suatu fungsi $f(x)$ pada titik tertentu adalah kemiringan (gradien) garis singgung pada kurva fungsi tersebut di titik itu.

• Laju Rata-rata vs. Laju Sesaat:
  • Laju perubahan rata-rata antara dua titik dihitung dengan kemiringan garis sekan.
  • Turunan adalah limit dari kemiringan garis sekan saat jarak antara dua titik tersebut mendekati nol, sehingga menghasilkan kemiringan garis singgung (laju perubahan sesaat).

2. Definisi Matematis

Turunan dari $f(x)$, dinotasikan sebagai $f'(x)$ atau $\frac{dy}{dx}$, didefinisikan menggunakan limit:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

Ini adalah definisi formal dari laju perubahan sesaat.

3. Aturan Dasar Turunan

Dalam praktiknya, kita jarang menggunakan definisi limit. Kita menggunakan aturan turunan, seperti:

• Aturan Pangkat (Power Rule): Jika $f(x) = x^n$, maka turunannya adalah $f'(x) = nx^{n-1}$.
  • Contoh: Jika $f(x) = x^4$, maka $f'(x) = 4x^3$.
• Aturan Konstanta: Turunan dari konstanta ($c$) adalah nol.
  • Contoh: Jika $f(x) = 10$, maka $f'(x) = 0$.
• Aturan Perkalian Konstanta: Jika $f(x) = c \cdot g(x)$, maka $f'(x) = c \cdot g'(x)$.

Selain itu, ada aturan untuk penjumlahan/pengurangan, perkalian (Aturan Produk), pembagian (Aturan Kuosien), dan fungsi komposit (Aturan Rantai).

4. Aplikasi Utama Turunan

Turunan sangat penting untuk menganalisis perilaku fungsi:

• Optimasi: Menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi (misalnya, mencari biaya produksi terendah atau keuntungan tertinggi). Ini dilakukan dengan mencari titik di mana $f'(x) = 0$.
• Kecepatan dan Percepatan: Jika posisi adalah $s(t)$, maka kecepatan adalah $v(t) = s'(t)$, dan percepatan adalah $a(t) = v'(t)$.
• Analisis Fungsi: Menentukan interval di mana fungsi tersebut naik ($f'(x) > 0$) atau turun ($f'(x) < 0$).