Dalam dunia nyata yang kita hadapi sehari-hari, kita jarang sekali bekerja dengan matriks yang sederhana dan kecil saja. Sebaliknya, kita sering kali berhadapan dengan matriks yang sangat besar dan kompleks, yang berisi banyak data serta informasi yang harus diolah. Proses diagonalisasi merupakan sebuah teknik penting yang digunakan untuk menyederhanakan matriks-matriks besar tersebut sehingga memudahkan kita dalam melakukan perhitungan dan analisis lebih lanjut. Dengan menggunakan diagonalisasi, matriks yang rumit dapat diubah menjadi bentuk yang lebih mudah dan efisien untuk dihitung.
9.1 Diagonalisasi ($A = PDP^{-1}$)
Jika sebuah matriks persegi $A$ memiliki $n$ eigenvector yang bebas linear, maka kita bisa melakukan Diagonalisasi.
- P: Matriks yang kolom-kolomnya adalah eigenvectors dari $A$.
- D: Matriks diagonal yang elemen utamanya adalah eigenvalues dari $A$.
- $P^{-1}$: Invers dari matriks eigenvector.
Mengapa ini sangat berguna?
Bayangkan Anda harus menghitung $A^{10}$ (matriks $A$ dikali dirinya sendiri sebanyak 10 kali). Jika menggunakan perkalian biasa, ini akan sangat melelahkan dan rawan kesalahan. Namun dengan diagonalisasi:
$$A^{10} = P D^{10} P^{-1}$$
Menghitung $D^{10}$ sangat mudah, Anda cukup memangkatkan angka-angka pada diagonal utamanya saja.
9.2 Singular Value Decomposition (SVD) 💎
SVD adalah “kakak tingkat” dari diagonalisasi. Jika diagonalisasi hanya bisa dilakukan pada matriks persegi tertentu, SVD bisa dilakukan pada matriks apa pun (persegi maupun persegi panjang).
Rumusnya:
$$A = U\Sigma V^T$$
- $U$: Matriks ortogonal (vektor basis kiri).
- $\Sigma$ (Sigma): Matriks diagonal berisi Singular Values (serupa dengan eigenvalues).
- $V^T$: Transpose matriks ortogonal (vektor basis kanan).
Kegunaan SVD di Dunia Modern:
- Kompresi Gambar: SVD bisa membuang bagian matriks yang nilainya sangat kecil (singular values rendah) sehingga ukuran gambar mengecil tanpa merusak kualitas visual secara signifikan.
- Sistem Rekomendasi (Netflix/Spotify): SVD membantu memetakan hubungan antara ribuan pengguna dan ribuan film untuk menebak film apa yang akan Anda sukai.